Example 4 Let $f(x)$ be a function defined on $\mathbf{R}$, for any $x \in \mathbf{R}$, we have $f(x+3) \leqslant f(x)+3$ and $f(x+$ $2) \geqslant f(x)+2$. Let $g(x)=f(x)-x$, if $f(4)$ $=2008$, find $f(2008)$.