Find all integers $k$ with the following property: there exist infinitely many positive integers $n$ such that $(n+k) \nmid \mathrm{C}_{2 n}^{n}$.

保留了源文本的换行和格式。请注意，这里的 $\mathrm{C}_{2 n}^{n}$ 表示从 $2n$ 个不同元素中选取 $n$ 个元素的组合数，通常写作 $\binom{2n}{n}$。