[ { "information": "对于多元函数 $f(x,y,z)$ 有，$\\partial_x f(x,y,z) \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial x} f(x,y,z) = \\left. \\frac{d}{dx} f(x,y,z) \\right|_{y,z \\text{不变}}$，余类推。" }, { "id": "CPhO_2025_1_1", "context": "在许多生物分子的自组装过程中，极性分子的电偶极相互作用在决定分子排布中扮演着重要角色。在蛋白质片段中，极性分子之间往往受到空间限制：一部分极性分子固定在膜或支架上，另一部分可在轨道上滑动或转动。这种空间几何限制与偶极作用的耦合，形成了高度方向性的势能分布，决定了生物分子的稳定构型。如图1a，在 $x$-$y$ 二维平面上模拟上述现象：中心固定在坐标原点 $O$ 处的极性分子 A 具有永久电偶极矩 $p_1$，大小为 $p$，方向沿 $y$ 轴正方向；极性分子 B 具有永久电偶极矩 $p_2$，大小也为 $p$，方向与 $y$ 轴的夹角为 $\\theta$（$-\\pi < \\theta \\le \\pi$），质心位于 $(x, y=b)$ 处，其中 $b > 0$，$x$ 可变。经过 $y = b$ 处有一条平行于 $x$ 轴的光滑细导轨，分子 B 的质心由质量可忽略的光滑绝缘轴与导轨连接，绝缘轴垂直于 $x$-$y$ 平面且长度可忽略，可以沿着导轨运动。已知分子 B 的质量为 $m$，质心位于绝缘轴处，为计算方便起见取其绕绝缘轴的转动惯量为 $I = \\frac{1}{12}m b^2$。$x$ 轴方向和 $y$ 轴方向的单位矢量分别记为 $\\mathbf{e}_x$、$\\mathbf{e}_y$，真空介电常量为 $\\varepsilon_0$。不计重力。\n\n[figure1] \n图1a", "question": "求极性分子 A 在极性分子 B 处产生的电场强度 $\\mathbf{E}_1$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出电偶极矩 $\\boldsymbol{p}_1$ 在位置 $\\boldsymbol{r}$ 处产生的电场表达式 $\\boldsymbol{E} = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{3(\\boldsymbol{p}_1 \\cdot \\boldsymbol{r}) \\boldsymbol{r} - \\boldsymbol{p}_1 r^2}{r^5}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出分子A在分子B处产生的电场强度 $\\boldsymbol{E}_1 = \\frac{p}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{3 b x \\boldsymbol{e}_x + (2 b^2 - x^2) \\boldsymbol{e}_y}{(x^2 + b^2)^{5/2}}$，则得 3 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\mathbf{E}_1 = \\frac{p}{4 \\pi \\varepsilon_0} \\frac{3 b x \\mathbf{e}_x + (2 b^2 - x^2) \\mathbf{e}_y}{(x^2 + b^2)^{5/2}}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 5.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_1_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_1_2", "context": "在许多生物分子的自组装过程中，极性分子的电偶极相互作用在决定分子排布中扮演着重要角色。在蛋白质片段中，极性分子之间往往受到空间限制：一部分极性分子固定在膜或支架上，另一部分可在轨道上滑动或转动。这种空间几何限制与偶极作用的耦合，形成了高度方向性的势能分布，决定了生物分子的稳定构型。如图1a，在 $x$-$y$ 二维平面上模拟上述现象：中心固定在坐标原点 $O$ 处的极性分子 A 具有永久电偶极矩 $p_1$，大小为 $p$，方向沿 $y$ 轴正方向；极性分子 B 具有永久电偶极矩 $p_2$，大小也为 $p$，方向与 $y$ 轴的夹角为 $\\theta$（$-\\pi < \\theta \\le \\pi$），质心位于 $(x, y=b)$ 处，其中 $b > 0$，$x$ 可变。经过 $y = b$ 处有一条平行于 $x$ 轴的光滑细导轨，分子 B 的质心由质量可忽略的光滑绝缘轴与导轨连接，绝缘轴垂直于 $x$-$y$ 平面且长度可忽略，可以沿着导轨运动。已知分子 B 的质量为 $m$，质心位于绝缘轴处，为计算方便起见取其绕绝缘轴的转动惯量为 $I = \\frac{1}{12}m b^2$。$x$ 轴方向和 $y$ 轴方向的单位矢量分别记为 $\\mathbf{e}_x$、$\\mathbf{e}_y$，真空介电常量为 $\\varepsilon_0$。不计重力。\n\n[figure1] \n图1a \n\n（1）求极性分子 A 在极性分子 B 处产生的电场强度 $\\mathbf{E}_1$。", "question": "（1）求极性分子 B 受到的电场力沿 $x$ 方向的分量 $F_x$，（2）求极性分子 B 受到的绕绝缘轴的力矩 $M$，（3）导出极性分子 B 静止不动的条件（写出其位置 $x$ 和夹角 $\\theta$ 的取值）。", "marking": [ [ "如果解答正确写出分子B在分子A电场中的电势能表达式 $W = -\\frac{p^2}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{3 b x \\sin \\theta + (2 b^2 - x^2) \\cos \\theta}{(x^2 + b^2)^{5/2}}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出分子B受到的电场力沿 $x$ 方向的分量 $F_x(x, \\theta) = \\frac{3 p^2}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{b (b^2 - 4 x^2) \\sin \\theta + x (x^2 - 4 b^2) \\cos \\theta}{(x^2 + b^2)^{7/2}}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出分子B受到的绕绝缘轴的力矩 $M(x, \\theta) = \\frac{p^2}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{3 b x \\cos \\theta - (2 b^2 - x^2) \\sin \\theta}{(x^2 + b^2)^{5/2}}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出平衡条件对应的方程组 $\\begin{cases} b (b^2 - 4 x^2) \\sin \\theta + x (x^2 - 4 b^2) \\cos \\theta = 0 \\\\ 3 b x \\cos \\theta - (2 b^2 - x^2) \\sin \\theta = 0 \\end{cases}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出平衡解 $\\begin{cases} x = 0 \\\\ \\theta = 0 \\end{cases}$ 或 $\\begin{cases} x = 0 \\\\ \\theta = \\pi \\end{cases}$，则得 2 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{$F_x = \\frac{3p^2}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{b(b^2 - 4x^2) \\sin\\theta + x(x^2 - 4b^2) \\cos\\theta}{(x^2 + b^2)^{7/2}}$}", "\\boxed{$M = \\frac{p^2}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{3 b x \\cos\\theta - (2b^2 - x^2) \\sin\\theta}{(x^2 + b^2)^{5/2}}$}", "\\boxed{$x = 0, \\theta = 0$ or $x = 0, \\theta = \\pi$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression", "Numerical Value" ], "unit": [ null, null, null ], "points": [ 4.0, 2.0, 4.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_1_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_1_3", "context": "在许多生物分子的自组装过程中，极性分子的电偶极相互作用在决定分子排布中扮演着重要角色。在蛋白质片段中，极性分子之间往往受到空间限制：一部分极性分子固定在膜或支架上，另一部分可在轨道上滑动或转动。这种空间几何限制与偶极作用的耦合，形成了高度方向性的势能分布，决定了生物分子的稳定构型。如图1a，在 $x$-$y$ 二维平面上模拟上述现象：中心固定在坐标原点 $O$ 处的极性分子 A 具有永久电偶极矩 $p_1$，大小为 $p$，方向沿 $y$ 轴正方向；极性分子 B 具有永久电偶极矩 $p_2$，大小也为 $p$，方向与 $y$ 轴的夹角为 $\\theta$（$-\\pi < \\theta \\le \\pi$），质心位于 $(x, y=b)$ 处，其中 $b > 0$，$x$ 可变。经过 $y = b$ 处有一条平行于 $x$ 轴的光滑细导轨，分子 B 的质心由质量可忽略的光滑绝缘轴与导轨连接，绝缘轴垂直于 $x$-$y$ 平面且长度可忽略，可以沿着导轨运动。已知分子 B 的质量为 $m$，质心位于绝缘轴处，为计算方便起见取其绕绝缘轴的转动惯量为 $I = \\frac{1}{12}m b^2$。$x$ 轴方向和 $y$ 轴方向的单位矢量分别记为 $\\mathbf{e}_x$、$\\mathbf{e}_y$，真空介电常量为 $\\varepsilon_0$。不计重力。\n\n[figure1] \n图1a \n\n（1）求极性分子 A 在极性分子 B 处产生的电场强度 $\\mathbf{E}_1$。\n（2）求极性分子 B 受到的电场力沿 $x$ 方向的分量 $F_x$，和其受到的绕绝缘轴的力矩 $M$，导出其静止不动的条件。", "question": "（1）分析极性分子 B 在其平衡位置（只需要考虑其中 $\\theta$ 较小的那个平衡位置）附近的稳定性，请选择正确的选项：（A）稳定平衡、（B）不稳定平衡、（C）随遇平衡。;（2）求出分子 B 偏离该平衡位置较小时 $x(t)$ 的一般表达式，（3）求出分子 B 偏离该平衡位置较小时 $\\theta(t)$ 的一般表达式（由于暂未给出初始条件，结果中可包含待定积分常量）。", "marking": [ [ "如果解答正确写出小扰动下沿 $x$ 方向的力近似式 $F_x(x, \\theta) \\approx \\frac{p^2}{4\\pi\\varepsilon_0 b^5} 3 (\\theta b - 4 x) = m \\ddot{x}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出小扰动下绕绝缘轴的力矩近似式 $M(x, \\theta) \\approx \\frac{p^2}{4\\pi\\varepsilon_0 b^4} (3 x - 2 b \\theta) = I \\ddot{\\theta}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出代入试探解 $x(t) = A\\cos(\\omega t + \\varphi)$、$\\theta(t) b = B\\cos(\\omega t + \\varphi)$ 后得到的关于 $A$、$B$ 的齐次线性方程组 $\\begin{cases} \\left(-12 + \\frac{\\omega^2}{\\omega_0^2}\\right) A + 3 B = 0 \\\\ 3 A + \\left(-2 + \\frac{1}{12} \\frac{\\omega^2}{\\omega_0^2}\\right) B = 0 \\end{cases}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出该齐次方程组存在非零解的行列式条件 $\\left(-12 + \\frac{\\omega^2}{\\omega_0^2}\\right)\\left(-2 + \\frac{1}{12} \\frac{\\omega^2}{\\omega_0^2}\\right) - 9 = 0$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出对应于 $\\omega_1 = \\sqrt{6}\\,\\omega_0$ 的振幅关系 $B_1 = 2 A_1$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出对应于 $\\omega_2 = \\sqrt{30}\\,\\omega_0$ 的振幅关系 $B_2 = -6 A_2$，则得 1 分。否则得 0 分.", "如果解答正确写出两个简正频率 $\\omega_1 = \\sqrt{\\frac{3 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}$ 和 $\\omega_2 = \\sqrt{\\frac{15 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}$，则得 4 分。否则得 0 分.", "如果解答正确写出完整解 $\\begin{cases} x(t) = A_1 \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t + \\varphi_1\\right) + A_2 \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t + \\varphi_2\\right) \\\\ \\theta(t) = \\frac{2 A_1}{b} \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t + \\varphi_1\\right) - \\frac{6 A_2}{b} \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t + \\varphi_2\\right) \\end{cases}$，则得 4 分。否则得 0 分.", "如果解答正确指出该平衡位置为稳定平衡位置，则得 2 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{A}", "\\boxed{$x(t) = A_1 \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}} t + \\phi_1 \\right) + A_2 \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 b^5 m}} t + \\phi_2 \\right)$（$A_1, \\phi_1, A_2, \\phi_2$ 由初始条件确定）}", "\\boxed{$\\theta(t) = \\frac{2A_1}{b}\\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 b^5 m}} t + \\phi_1 \\right) - \\frac{6A_2}{b} \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 b^5 m}} t + \\phi_2 \\right)$（$A_1, \\phi_1, A_2, \\phi_2$ 由初始条件确定）}" ], "answer_type": [ "Multiple Choice", "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null, null ], "points": [ 2.0, 9.0, 9.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_1_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_1_4", "context": "在许多生物分子的自组装过程中，极性分子的电偶极相互作用在决定分子排布中扮演着重要角色。在蛋白质片段中，极性分子之间往往受到空间限制：一部分极性分子固定在膜或支架上，另一部分可在轨道上滑动或转动。这种空间几何限制与偶极作用的耦合，形成了高度方向性的势能分布，决定了生物分子的稳定构型。如图1a，在 $x$-$y$ 二维平面上模拟上述现象：中心固定在坐标原点 $O$ 处的极性分子 A 具有永久电偶极矩 $p_1$，大小为 $p$，方向沿 $y$ 轴正方向；极性分子 B 具有永久电偶极矩 $p_2$，大小也为 $p$，方向与 $y$ 轴的夹角为 $\\theta$（$-\\pi < \\theta \\le \\pi$），质心位于 $(x, y=b)$ 处，其中 $b > 0$，$x$ 可变。经过 $y = b$ 处有一条平行于 $x$ 轴的光滑细导轨，分子 B 的质心由质量可忽略的光滑绝缘轴与导轨连接，绝缘轴垂直于 $x$-$y$ 平面且长度可忽略，可以沿着导轨运动。已知分子 B 的质量为 $m$，质心位于绝缘轴处，为计算方便起见取其绕绝缘轴的转动惯量为 $I = \\frac{1}{12}m b^2$。$x$ 轴方向和 $y$ 轴方向的单位矢量分别记为 $\\mathbf{e}_x$、$\\mathbf{e}_y$，真空介电常量为 $\\varepsilon_0$。不计重力。\n\n[figure1] \n图1a \n\n（1）求极性分子 A 在极性分子 B 处产生的电场强度 $\\mathbf{E}_1$。\n（2）求极性分子 B 受到的电场力沿 $x$ 方向的分量 $F_x$，和其受到的绕绝缘轴的力矩 $M$，导出其静止不动的条件。\n（3）分析极性分子 B 在其平衡位置（只需要考虑其中 $\\theta$ 较小的那个平衡位置）附近的稳定性，求出分子 B 偏离该平衡位置较小时 $x(t)$ 和 $\\theta(t)$ 的一般表达式（由于暂未给出初始条件，结果中可包含待定积分常量）。", "question": "将极性分子 B 在初始位置 $x = a$（$0 < a \\ll b$）、$\\theta = 0$ 处由静止释放，求 $t$ 时刻：（1）$x(t)$ 的具体表达式，（2） $\\theta(t)$ 的具体表达式。", "marking": [ [ "如果解答正确写出由初始条件导出的方程组 $\\begin{cases} A_1 \\cos \\varphi_1 + A_2 \\cos \\varphi_2 = a, & A_1 \\sin \\varphi_1 + A_2 \\sqrt{5} \\sin \\varphi_2 = 0 \\\\ 2 A_1 \\cos \\varphi_1 - 6 A_2 \\cos \\varphi_2 = 0, & 2 A_1 \\sin \\varphi_1 - 6 A_2 \\sqrt{5} \\sin \\varphi_2 = 0 \\end{cases}$，则得 4 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出代入系数后的位置与角度随时间变化的表达式 $\\begin{cases} x(t) = \\frac{3}{4} a \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t\\right) + \\frac{1}{4} a \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t\\right) \\\\ \\theta(t) = \\frac{3}{2} \\frac{a}{b} \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t\\right) - \\frac{3}{2} \\frac{a}{b} \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15 p^2}{2 \\pi \\varepsilon_0 b^5 m}}\\, t\\right) \\end{cases}$，则得 4 分。否则得 0 分.", "如果解答正确写出振幅和初相的解 $\\begin{cases} A_1 = \\frac{3}{4} a, \\quad \\varphi_1 = 0 \\\\ A_2 = \\frac{1}{4} a, \\quad \\varphi_2 = 0 \\end{cases}$，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$x(t) = \\frac{3}{4} a \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 b^5 m}} t \\right) + \\frac{1}{4} a \\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 b^5 m}} t \\right)$}", "\\boxed{$\\theta(t) = \\frac{3a}{2b}\\cos\\left(\\sqrt{\\frac{3p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 b^5 m}} t \\right) - \\frac{3a}{2b}\\cos\\left(\\sqrt{\\frac{15p^2}{2\\pi\\varepsilon_0 b^5 m}} t \\right)$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 5.0, 5.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_1_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_1", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a", "question": "考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的（1）动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和（2）势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及（3）瞬时能流 $I(x, t)$ 和（4）平均能流 $\\bar{I}$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出单位长度弦线的动能表达式 $\\varepsilon_{\\mathrm{k}}(x, t) = \\frac{1}{2} \\rho \\omega^{2} A^{2} \\sin^{2}\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}} x - \\omega t\\right)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出单位长度弦线的弹性势能表达式 $\\varepsilon_{\\mathrm{p}}(x, t) = \\frac{1}{2} \\rho \\omega^{2} A^{2} \\sin^{2}\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}} x - \\omega t\\right)$，并指出其等于动能，即 $\\varepsilon_{\\mathrm{p}}(x, t) = \\varepsilon_{\\mathrm{k}}(x, t)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出瞬时能流表达式 $I(x, t) = \\sqrt{\\rho \\tau} \\, \\omega^{2} A^{2} \\sin^{2}\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}} x - \\omega t\\right)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出平均能流表达式 $\\bar{I} = \\frac{1}{2} \\sqrt{\\rho \\tau} \\, \\omega^{2} A^{2}$，则得 1 分。否则得 0 分。" ], [ "如果解答正确写出单位长度弦线的动能表达式 $\\varepsilon_{\\mathrm{k}}(x, t) = \\frac{1}{2} \\rho \\omega^{2} A^{2} \\sin^{2}\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}} x - \\omega t\\right)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出单位长度弦线的弹性势能表达式 $\\varepsilon_{\\mathrm{p}}(x, t) = \\frac{1}{2} \\rho \\omega^{2} A^{2} \\sin^{2}\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}} x - \\omega t\\right)$，并指出其等于动能，即 $\\varepsilon_{\\mathrm{p}}(x, t) = \\varepsilon_{\\mathrm{k}}(x, t)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答通过左侧对右侧做功的功率，正确得出瞬时能流 $I(x, t) = -\\tau \\frac{\\partial y}{\\partial x} \\frac{\\partial y}{\\partial t} = \\sqrt{\\rho \\tau} \\, \\omega^{2} A^{2} \\sin^{2}\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}} x - \\omega t\\right)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出平均能流表达式 $\\bar{I} = \\frac{1}{2} \\sqrt{\\rho \\tau} \\, \\omega^{2} A^{2}$，则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\varepsilon_k(x, t) = \\frac{1}{2}\\rho \\omega^2 A^2 \\sin^2\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}}x - \\omega t\\right)$}", "\\boxed{$\\varepsilon_p(x, t) = \\frac{1}{2}\\rho \\omega^2 A^2 \\sin^2\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}}x - \\omega t\\right)$}", "\\boxed{$I(x, t) = \\sqrt{\\rho\\tau}\\omega^2 A^2 \\sin^2\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho}{\\tau}}x - \\omega t\\right)$}", "\\boxed{$\\bar{I} = \\frac{1}{2} \\sqrt{\\rho\\tau}\\omega^2 A^2$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression", "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null, null, null ], "points": [ 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_2", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a \n（1）考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及瞬时能流 $I(x, t)$ 和平均能流 $\\bar{I}$。\n\n（2）弦线中同时存在沿 $x$ 轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在 $x = x_1$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$，在 $x = x_2$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$，$\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$ 可用 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$ 表示为：$\\tilde{A}_2 = \\tilde{M}_{11} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{12} \\tilde{B}_1$，$\\tilde{B}_2 = \\tilde{M}_{21} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{22} \\tilde{B}_1$，其矩阵表示为：\n$$\\begin{pmatrix} \\tilde{A}_2 \\\\ \\tilde{B}_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tilde{M}_{11} & \\tilde{M}_{12} \\\\ \\tilde{M}_{21} & \\tilde{M}_{22} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix} \\equiv \\hat{\\mathbf{M}} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix}$$ \n矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}}$ 称为从 $x = x_1$ 到 $x = x_2$ 的传输矩阵。\n考虑两根半无限长弦线在 $x = 0$ 处相连，分界面存在某种约束使其两侧的张力大小可以不等（下同），$x < 0$ 部分的弦线 1 的线密度为 $\\rho_1$、张力为 $\\tau_1$，$x > 0$ 部分的弦线 2 的线密度为 $\\rho_2$、张力为 $\\tau_2$，如图 2b 所示。\n\n[figure2] \n图 2b", "question": "求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = 0^+$ 的传输矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}_{12}}$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出分界面处位移连续条件导出的关系式 $\\tilde{A}_1 + \\tilde{B}_1 = \\tilde{A}_2 + \\tilde{B}_2$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出分界面处受力平衡条件导出的关系式 $\\sqrt{\\rho_1 \\tau_1} (\\tilde{A}_1 - \\tilde{B}_1) = \\sqrt{\\rho_2 \\tau_2} (\\tilde{A}_2 - \\tilde{B}_2)$，则得 2 分。否则得 0 分.", "如果解答正确写出传输矩阵表达式 $\\hat{\\boldsymbol{M}}_{12} = \\frac{1}{2} \\begin{pmatrix} 1 + \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}} & 1 - \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}} \\\\ 1 - \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}} & 1 + \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}} \\end{pmatrix}$，则得 2 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\hat{\\mathbf{M}_{12}} = \\frac{1}{2}\\begin{pmatrix} 1+\\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}} & 1-\\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}} \\\\ 1-\\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}} & 1+\\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}} \\end{pmatrix}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 5.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png", "image_question/CPhO_2025_2_2.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_3", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a \n（1）考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及瞬时能流 $I(x, t)$ 和平均能流 $\\bar{I}$。\n\n（2）弦线中同时存在沿 $x$ 轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在 $x = x_1$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$，在 $x = x_2$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$，$\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$ 可用 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$ 表示为：$\\tilde{A}_2 = \\tilde{M}_{11} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{12} \\tilde{B}_1$，$\\tilde{B}_2 = \\tilde{M}_{21} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{22} \\tilde{B}_1$，其矩阵表示为：\n$$\\begin{pmatrix} \\tilde{A}_2 \\\\ \\tilde{B}_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tilde{M}_{11} & \\tilde{M}_{12} \\\\ \\tilde{M}_{21} & \\tilde{M}_{22} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix} \\equiv \\hat{\\mathbf{M}} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix}$$ \n矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}}$ 称为从 $x = x_1$ 到 $x = x_2$ 的传输矩阵。\n考虑两根半无限长弦线在 $x = 0$ 处相连，分界面存在某种约束使其两侧的张力大小可以不等（下同），$x < 0$ 部分的弦线 1 的线密度为 $\\rho_1$、张力为 $\\tau_1$，$x > 0$ 部分的弦线 2 的线密度为 $\\rho_2$、张力为 $\\tau_2$，如图 2b 所示。\n\n[figure2] \n图 2b \n\n（2.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = 0^+$ 的传输矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}_{12}}$。", "question": "一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在分界面 $x = 0$ 处入射并发生反射和透射，求透射率 $T$（透射波的平均能流 $\\bar{I_t}$ 与入射波的平均能流 $\\bar{I_i}$ 之比）。", "marking": [ [ "如果解答正确写出透射波与入射波复振幅之比 $\\frac{\\tilde{A}_{\\mathrm{t}}}{\\tilde{A}_{\\mathrm{i}}} = \\frac{2}{1 + \\sqrt{\\frac{\\rho_2 \\tau_2}{\\rho_1 \\tau_1}}}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出透射率表达式 $T = \\frac{4 \\sqrt{\\rho_1 \\tau_1 \\rho_2 \\tau_2}}{(\\sqrt{\\rho_1 \\tau_1} + \\sqrt{\\rho_2 \\tau_2})^2}$，则得 3 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\frac{\\bar{I_t}}{\\bar{I_i}} = \\frac{4\\sqrt{\\rho_1\\tau_1\\rho_2\\tau_2}}{(\\sqrt{\\rho_1\\tau_1}+\\sqrt{\\rho_2\\tau_2})^2}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 4.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png", "image_question/CPhO_2025_2_2.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_4", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a \n（1）考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及瞬时能流 $I(x, t)$ 和平均能流 $\\bar{I}$。\n\n（2）弦线中同时存在沿 $x$ 轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在 $x = x_1$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$，在 $x = x_2$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$，$\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$ 可用 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$ 表示为：$\\tilde{A}_2 = \\tilde{M}_{11} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{12} \\tilde{B}_1$，$\\tilde{B}_2 = \\tilde{M}_{21} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{22} \\tilde{B}_1$，其矩阵表示为：\n$$\\begin{pmatrix} \\tilde{A}_2 \\\\ \\tilde{B}_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tilde{M}_{11} & \\tilde{M}_{12} \\\\ \\tilde{M}_{21} & \\tilde{M}_{22} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix} \\equiv \\hat{\\mathbf{M}} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix}$$ \n矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}}$ 称为从 $x = x_1$ 到 $x = x_2$ 的传输矩阵。\n考虑两根半无限长弦线在 $x = 0$ 处相连，分界面存在某种约束使其两侧的张力大小可以不等（下同），$x < 0$ 部分的弦线 1 的线密度为 $\\rho_1$、张力为 $\\tau_1$，$x > 0$ 部分的弦线 2 的线密度为 $\\rho_2$、张力为 $\\tau_2$，如图 2b 所示。\n\n[figure2] \n图 2b \n\n（2.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = 0^+$ 的传输矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}_{12}}$。\n（2.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在分界面 $x = 0$ 处入射并发生反射和透射，求透射率 $T$（透射波的平均能流 $\\bar{I_t}$ 与入射波的平均能流 $\\bar{I_i}$ 之比）。\n\n（3）进一步考虑由弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）组成的有多个分界面的弦线系统：$x < 0$ 部分为半无限长的弦线 2，$x > 0$ 部分从左到右依次为长度为 $a$ 的弦线 1、长度为 $b$ 的弦线 2、长度为 $a$ 的弦线 1、半无限长的弦线 2，如图 2c 所示。\n\n[figure3] \n图 2c", "question": "求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = a^+$ 的传输矩阵 $\\hat{M}_{212}$（将矩阵元复数 $\\tilde{z}$ 都表示为“$\\mathrm{Re}(z) + i\\mathrm{Im}(z)$”的形式）。", "marking": [ [ "如果解答正确写出弦线1中从 $x = 0^{+}$ 到 $x = a^{-}$ 的传输矩阵 $\\hat{\\boldsymbol{M}}_{1a} = \\begin{pmatrix} \\mathrm{e}^{\\mathrm{i} k_1 a} & 0 \\\\ 0 & \\mathrm{e}^{-\\mathrm{i} k_1 a} \\end{pmatrix}$，其中 $k_1 = \\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出系统从 $x = 0^{-}$ 到 $x = a^{+}$ 的总传输矩阵 $\\hat{\\boldsymbol{M}}_{212}$ 的完整表达式：\n$$\n\\begin{pmatrix}\n\\cos\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) + \\mathrm{i} \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2 \\tau_2}{\\rho_1 \\tau_1}} + \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) & -\\mathrm{i} \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2 \\tau_2}{\\rho_1 \\tau_1}} - \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) \\\\\n\\mathrm{i} \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2 \\tau_2}{\\rho_1 \\tau_1}} - \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) & \\cos\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) - \\mathrm{i} \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2 \\tau_2}{\\rho_1 \\tau_1}} + \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right)\n\\end{pmatrix},\n$$\n则得 4 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\hat{M}_{212} = \\begin{pmatrix} \\cos\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) + i \\frac{1}{2}\\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2\\tau_2}{\\rho_1\\tau_1}} + \\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) & -i \\frac{1}{2}\\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2\\tau_2}{\\rho_1\\tau_1}} - \\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) \\\\ i \\frac{1}{2}\\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2\\tau_2}{\\rho_1\\tau_1}} - \\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) & \\cos\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) - i \\frac{1}{2}\\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2\\tau_2}{\\rho_1\\tau_1}} + \\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) \\end{pmatrix}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 5.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png", "image_question/CPhO_2025_2_2.png", "image_question/CPhO_2025_2_3.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_5", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a \n（1）考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及瞬时能流 $I(x, t)$ 和平均能流 $\\bar{I}$。\n\n（2）弦线中同时存在沿 $x$ 轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在 $x = x_1$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$，在 $x = x_2$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$，$\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$ 可用 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$ 表示为：$\\tilde{A}_2 = \\tilde{M}_{11} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{12} \\tilde{B}_1$，$\\tilde{B}_2 = \\tilde{M}_{21} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{22} \\tilde{B}_1$，其矩阵表示为：\n$$\\begin{pmatrix} \\tilde{A}_2 \\\\ \\tilde{B}_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tilde{M}_{11} & \\tilde{M}_{12} \\\\ \\tilde{M}_{21} & \\tilde{M}_{22} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix} \\equiv \\hat{\\mathbf{M}} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix}$$ \n矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}}$ 称为从 $x = x_1$ 到 $x = x_2$ 的传输矩阵。\n考虑两根半无限长弦线在 $x = 0$ 处相连，分界面存在某种约束使其两侧的张力大小可以不等（下同），$x < 0$ 部分的弦线 1 的线密度为 $\\rho_1$、张力为 $\\tau_1$，$x > 0$ 部分的弦线 2 的线密度为 $\\rho_2$、张力为 $\\tau_2$，如图 2b 所示。\n\n[figure2] \n图 2b \n\n（2.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = 0^+$ 的传输矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}_{12}}$。\n（2.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在分界面 $x = 0$ 处入射并发生反射和透射，求透射率 $T$（透射波的平均能流 $\\bar{I_t}$ 与入射波的平均能流 $\\bar{I_i}$ 之比）。\n\n（3）进一步考虑由弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）组成的有多个分界面的弦线系统：$x < 0$ 部分为半无限长的弦线 2，$x > 0$ 部分从左到右依次为长度为 $a$ 的弦线 1、长度为 $b$ 的弦线 2、长度为 $a$ 的弦线 1、半无限长的弦线 2，如图 2c 所示。\n\n[figure3] \n图 2c \n\n（3.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = a^+$ 的传输矩阵 $\\hat{M}_{212}$（将矩阵元复数 $\\tilde{z}$ 都表示为“$\\mathrm{Re}(z) + i\\mathrm{Im}(z)$”的形式）。", "question": "一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在各分界面发生反射和透射，求系统的透射系数 $\\tilde{t}$（$x = (2a+b)^+$ 处透射波的复振幅 $\\tilde{A}_t$ 与 $x = 0^-$ 处入射波的复振幅 $\\tilde{A}_i$ 之比）。", "marking": [ [ "如果解答正确写出系统从 $x = 0^{-}$ 到 $x = (2a + b)^{+}$ 的传输矩阵表达式 $\\hat{\\boldsymbol{M}}_{21212} = \\hat{\\boldsymbol{M}}_{212} \\hat{\\boldsymbol{M}}_{2b} \\hat{\\boldsymbol{M}}_{212}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出矩阵 $\\hat{\\boldsymbol{M}}_{21212}$ 左上角元 $(\\hat{M}_{21212})_{11} = \\left[ \\cos(k_1 a) + \\mathrm{i} \\frac{1}{2} (Z_{21} + Z_{12}) \\sin(k_1 a) \\right]^2 \\mathrm{e}^{\\mathrm{i} k_2 b} + \\frac{1}{4} (Z_{21} - Z_{12})^2 \\sin^2(k_1 a) \\mathrm{e}^{-\\mathrm{i} k_2 b}$，其中 $k_1 = \\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}$、$k_2 = \\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}$、$Z_{12} = \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}}$，则得 2 分。否则得 0 分.", "如果解答正确写出入射振幅与透射振幅的关系 $\\tilde{A}_{\\mathrm{i}} = \\left\\{ \\left[ \\cos(k_1 a) - \\mathrm{i} \\frac{1}{2} (Z_{21} + Z_{12}) \\sin(k_1 a) \\right]^2 \\mathrm{e}^{-\\mathrm{i} k_2 b} + \\frac{1}{4} (Z_{21} - Z_{12})^2 \\sin^2(k_1 a) \\mathrm{e}^{\\mathrm{i} k_2 b} \\right\\} \\tilde{A}_{\\mathrm{t}}$，则得 2 分。否则得 0 分.", "如果解答正确写出系统的透射系数表达式\n$$\n\\tilde{t} = \\frac{1}{\\left[ \\cos\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) - \\mathrm{i} \\frac{1}{2} \\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2 \\tau_2}{\\rho_1 \\tau_1}} + \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) \\right]^2 \\mathrm{e}^{-\\mathrm{i} \\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}} b} + \\frac{1}{4} \\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2 \\tau_2}{\\rho_1 \\tau_1}} - \\sqrt{\\frac{\\rho_1 \\tau_1}{\\rho_2 \\tau_2}}\\right)^2 \\sin^2\\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}} a\\right) \\mathrm{e}^{\\mathrm{i} \\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}} b}},\n$$\n则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\tilde{t} = \\frac{1}{\\left[ \\cos\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) - i\\frac{1}{2}\\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2\\tau_2}{\\rho_1\\tau_1}} + \\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}}\\right) \\sin\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) \\right]^2 e^{-i\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}b} + \\frac{1}{4}\\left(\\sqrt{\\frac{\\rho_2\\tau_2}{\\rho_1\\tau_1}} - \\sqrt{\\frac{\\rho_1\\tau_1}{\\rho_2\\tau_2}}\\right)^2 \\sin^2\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) e^{i\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}b}}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 7.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png", "image_question/CPhO_2025_2_2.png", "image_question/CPhO_2025_2_3.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_6", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a \n（1）考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及瞬时能流 $I(x, t)$ 和平均能流 $\\bar{I}$。\n\n（2）弦线中同时存在沿 $x$ 轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在 $x = x_1$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$，在 $x = x_2$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$，$\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$ 可用 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$ 表示为：$\\tilde{A}_2 = \\tilde{M}_{11} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{12} \\tilde{B}_1$，$\\tilde{B}_2 = \\tilde{M}_{21} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{22} \\tilde{B}_1$，其矩阵表示为：\n$$\\begin{pmatrix} \\tilde{A}_2 \\\\ \\tilde{B}_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tilde{M}_{11} & \\tilde{M}_{12} \\\\ \\tilde{M}_{21} & \\tilde{M}_{22} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix} \\equiv \\hat{\\mathbf{M}} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix}$$ \n矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}}$ 称为从 $x = x_1$ 到 $x = x_2$ 的传输矩阵。\n考虑两根半无限长弦线在 $x = 0$ 处相连，分界面存在某种约束使其两侧的张力大小可以不等（下同），$x < 0$ 部分的弦线 1 的线密度为 $\\rho_1$、张力为 $\\tau_1$，$x > 0$ 部分的弦线 2 的线密度为 $\\rho_2$、张力为 $\\tau_2$，如图 2b 所示。\n\n[figure2] \n图 2b \n\n（2.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = 0^+$ 的传输矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}_{12}}$。\n（2.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在分界面 $x = 0$ 处入射并发生反射和透射，求透射率 $T$（透射波的平均能流 $\\bar{I_t}$ 与入射波的平均能流 $\\bar{I_i}$ 之比）。\n\n（3）进一步考虑由弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）组成的有多个分界面的弦线系统：$x < 0$ 部分为半无限长的弦线 2，$x > 0$ 部分从左到右依次为长度为 $a$ 的弦线 1、长度为 $b$ 的弦线 2、长度为 $a$ 的弦线 1、半无限长的弦线 2，如图 2c 所示。\n\n[figure3] \n图 2c \n\n（3.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = a^+$ 的传输矩阵 $\\hat{M}_{212}$（将矩阵元复数 $\\tilde{z}$ 都表示为“$\\mathrm{Re}(z) + i\\mathrm{Im}(z)$”的形式）。\n（3.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在各分界面发生反射和透射，求系统的透射系数 $\\tilde{t}$（$x = (2a+b)^+$ 处透射波的复振幅 $\\tilde{A}_t$ 与 $x = 0^-$ 处入射波的复振幅 $\\tilde{A}_i$ 之比）。\n\n（4）考虑长度为 $a$ 的弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和长度为 $b$ 的弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）交替排列，构成空间周期为 $d = a + b$ 的周期性结构，即一维声子晶体，如图 2d 所示。根据布洛赫定理，在周期性介质中传播的一维波 $\\tilde{y}(x, t)$，可表示为复振幅周期调制的平面波形式，即 $\\tilde{y}(x, t) = \\tilde{u}_K(x) e^{i(Kx - \\omega t)}$$，其中调幅因子 $\\tilde{u}_K(x)$ 是周期为 $d$ 的函数，满足 $\\tilde{u}_K(x + d) = \\tilde{u}_K(x)$，$K$ 为布洛赫波矢。\n\n[figure4] \n图 2d", "question": "（1）对于此一维声子晶体允许传播的波，求角频率 $\\omega$ 与波矢 $K$ 满足的关系式。（2）波允许传播时 $\\omega$ 的一个连续范围为声子晶体能带中的一个“通带”，不允许传播时的一个连续范围为一个“禁带”。对于此一维声子晶体含有最低角频率的通带，求长波极限（即 $K \\to 0$）下波的相速度 $v_p$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出布洛赫定理表达式 \\tilde{y}(x + d, t) = \\mathrm{e}^{\\mathrm{i} K d} \\tilde{y}(x, t)，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出传输矩阵 $\\hat{\\boldsymbol{T}}$ 的完整表达式：$\\hat{\\boldsymbol{T}} = \\begin{pmatrix} \\left[\\cos(k_1 a)+i\\frac{1}{2}(Z_{21}+Z_{12})\\sin(k_1 a)\\right] e^{ik_2 b} & -i\\frac{1}{2}(Z_{21}-Z_{12})\\sin(k_1 a)e^{ik_2 b} \\\\ i\\frac{1}{2}(Z_{21}-Z_{12})\\sin(k_1 a) e^{-ik_2 b} & \\left[\\cos(k_1 a) - i\\frac{1}{2}(Z_{21}+Z_{12})\\sin(k_1 a)\\right] e^{-ik_2b} \\end{pmatrix}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出齐次方程组有非零解的条件 \\det \\begin{pmatrix} \\tilde{T}_{11} - \\mathrm{e}^{\\mathrm{i} K d} & \\tilde{T}_{12} \\\\ \\tilde{T}_{21} & \\tilde{T}_{22} - \\mathrm{e}^{\\mathrm{i} K d} \\end{pmatrix} = 0，并由此得到 \\cos(K d) = \\frac{\\tilde{T}_{11} + \\tilde{T}_{22}}{2}，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出角频率 \\omega 与布洛赫波矢 K 的色散关系：\\cos (K d) = \\cos \\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_{1}}{\\tau_{1}}} a\\right) \\cos \\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_{2}}{\\tau_{2}}} b\\right) - \\frac{\\rho_{1} \\tau_{1} + \\rho_{2} \\tau_{2}}{2 \\sqrt{\\rho_{1} \\tau_{1} \\rho_{2} \\tau_{2}}} \\sin \\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_{1}}{\\tau_{1}}} a\\right) \\sin \\left(\\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_{2}}{\\tau_{2}}} b\\right)，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出 K \\rightarrow 0 时的展开式 |K| d = \\omega \\sqrt{\\frac{\\rho_{1}}{\\tau_{1}} a^{2} + \\frac{\\rho_{2}}{\\tau_{2}} b^{2} + \\frac{\\rho_{1} \\tau_{1} + \\rho_{2} \\tau_{2}}{\\tau_{1} \\tau_{2}} a b}，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出 $K \\to 0$ 时波的相速度表达式 $v_p = \\frac{d}{\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1} a^2 + \\frac{\\rho_2}{\\tau_2} b^2 + \\frac{\\rho_1 \\tau_1 + \\rho_2 \\tau_2}{\\tau_1 \\tau_2} ab}}$，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\cos(Kd) = \\cos\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right) \\cos\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}b\\right) - \\frac{\\rho_1\\tau_1 + \\rho_2\\tau_2}{2\\sqrt{\\rho_1\\tau_1\\rho_2\\tau_2}} \\sin\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}}a\\right)\\sin\\left(\\omega\\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}b\\right)$}", "\\boxed{$v_p = \\frac{d}{\\sqrt{\\frac{\\rho_1}{\\tau_1}a^2 + \\frac{\\rho_2}{\\tau_2}b^2 + \\frac{\\rho_1\\tau_1 + \\rho_2\\tau_2}{\\tau_1\\tau_2}ab}}$}" ], "answer_type": [ "Equation", "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 5.0, 4.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png", "image_question/CPhO_2025_2_2.png", "image_question/CPhO_2025_2_3.png", "image_question/CPhO_2025_2_4.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_7", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a \n（1）考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及瞬时能流 $I(x, t)$ 和平均能流 $\\bar{I}$。\n\n（2）弦线中同时存在沿 $x$ 轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在 $x = x_1$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$，在 $x = x_2$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$，$\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$ 可用 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$ 表示为：$\\tilde{A}_2 = \\tilde{M}_{11} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{12} \\tilde{B}_1$，$\\tilde{B}_2 = \\tilde{M}_{21} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{22} \\tilde{B}_1$，其矩阵表示为：\n$$\\begin{pmatrix} \\tilde{A}_2 \\\\ \\tilde{B}_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tilde{M}_{11} & \\tilde{M}_{12} \\\\ \\tilde{M}_{21} & \\tilde{M}_{22} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix} \\equiv \\hat{\\mathbf{M}} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix}$$ \n矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}}$ 称为从 $x = x_1$ 到 $x = x_2$ 的传输矩阵。\n考虑两根半无限长弦线在 $x = 0$ 处相连，分界面存在某种约束使其两侧的张力大小可以不等（下同），$x < 0$ 部分的弦线 1 的线密度为 $\\rho_1$、张力为 $\\tau_1$，$x > 0$ 部分的弦线 2 的线密度为 $\\rho_2$、张力为 $\\tau_2$，如图 2b 所示。\n\n[figure2] \n图 2b \n\n（2.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = 0^+$ 的传输矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}_{12}}$。\n（2.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在分界面 $x = 0$ 处入射并发生反射和透射，求透射率 $T$（透射波的平均能流 $\\bar{I_t}$ 与入射波的平均能流 $\\bar{I_i}$ 之比）。\n\n（3）进一步考虑由弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）组成的有多个分界面的弦线系统：$x < 0$ 部分为半无限长的弦线 2，$x > 0$ 部分从左到右依次为长度为 $a$ 的弦线 1、长度为 $b$ 的弦线 2、长度为 $a$ 的弦线 1、半无限长的弦线 2，如图 2c 所示。\n\n[figure3] \n图 2c \n\n（3.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = a^+$ 的传输矩阵 $\\hat{M}_{212}$（将矩阵元复数 $\\tilde{z}$ 都表示为“$\\mathrm{Re}(z) + i\\mathrm{Im}(z)$”的形式）。\n（3.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在各分界面发生反射和透射，求系统的透射系数 $\\tilde{t}$（$x = (2a+b)^+$ 处透射波的复振幅 $\\tilde{A}_t$ 与 $x = 0^-$ 处入射波的复振幅 $\\tilde{A}_i$ 之比）。\n\n（4）考虑长度为 $a$ 的弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和长度为 $b$ 的弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）交替排列，构成空间周期为 $d = a + b$ 的周期性结构，即一维声子晶体，如图 2d 所示。根据布洛赫定理，在周期性介质中传播的一维波 $\\tilde{y}(x, t)$，可表示为复振幅周期调制的平面波形式，即 $\\tilde{y}(x, t) = \\tilde{u}_K(x) e^{i(Kx - \\omega t)}$$，其中调幅因子 $\\tilde{u}_K(x)$ 是周期为 $d$ 的函数，满足 $\\tilde{u}_K(x + d) = \\tilde{u}_K(x)$，$K$ 为布洛赫波矢。\n\n[figure4] \n图 2d\n（4.1）对于此一维声子晶体允许传播的波，求角频率 $\\omega$ 与波矢 $K$ 满足的关系式。波允许传播时 $\\omega$ 的一个连续范围为声子晶体能带中的一个“通带”，不允许传播时的一个连续范围为一个“禁带”。对于此一维声子晶体含有最低角频率的通带，求长波极限（即 $K \\to 0$）下波的相速度 $v_p$。", "question": "若 $\\rho_1 = 2\\rho_2$、$\\tau_1 = 2\\tau_2$、$a = 2b$，（1）和（2）：求此一维声子晶体各禁带对应 $\\omega$ 的范围；（3）和（4）：求各禁带的角频率宽度 $\\Delta \\omega$，结果用 $\\rho_2$、$\\tau_2$、$b$ 表示。", "marking": [ [ "如果解答正确写出禁带条件 \\left| \\cos 2\\alpha \\cos \\alpha - \\frac{1}{2} \\left(2 + \\frac{1}{2}\\right) \\sin 2\\alpha \\sin \\alpha \\right| > 1，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出第一个禁带区间 \\arccos \\frac{2}{3} + n \\pi < \\alpha < \\arccos \\frac{1}{3} + n \\pi，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出第二个禁带区间 \\arccos \\left(-\\frac{1}{3}\\right) + n \\pi < \\alpha < \\arccos \\left(-\\frac{2}{3}\\right) + n \\pi，则得 1 分。否则得 0 分.", "如果解答正确写出禁带的角频率宽度 \\Delta \\omega = \\left[ \\arccos \\frac{1}{3} - \\arccos \\frac{2}{3} \\right] \\frac{1}{b} \\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}}（或等价形式），则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\left[ \\arccos\\frac{2}{3} + n\\pi \\right]\\frac{1}{b}\\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}} < \\omega < \\left[ \\arccos\\frac{1}{3} + n\\pi \\right] \\frac{1}{b}\\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}}$ where $n = 0, 1, 2, \\ldots$}", "\\boxed{$\\left[ \\arccos(-\\frac{1}{3}) + n\\pi \\right] \\frac{1}{b}\\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}} < \\omega < \\left[ \\arccos(-\\frac{2}{3}) + n\\pi \\right] \\frac{1}{b}\\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}}$, where $n = 0, 1, 2, \\ldots$}", "\\boxed{$\\Delta \\omega = 0.39 \\frac{1}{b} \\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}}$}", "\\boxed{$\\Delta \\omega = 0.39 \\frac{1}{b} \\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}}$}" ], "answer_type": [ "Inequality", "Inequality", "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null, null, null ], "points": [ 1.5, 1.5, 1.0, 1.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png", "image_question/CPhO_2025_2_2.png", "image_question/CPhO_2025_2_3.png", "image_question/CPhO_2025_2_4.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_2_8", "context": "【设定：沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐横波可表示为 $y(x, t) = A \\cos(kx - \\omega t + \\varphi_0) = \\operatorname{Re}[\\tilde{y}(x, t)]$，$\\tilde{y}(x, t) = A e^{i (kx - \\omega t + \\varphi_0)} = \\tilde{A}(x) e^{-i \\omega t}$，其中 $A$、$\\omega$、$k$、$\\varphi_0$ 分别为振幅、角频率、波矢（可用 $\\omega$ 和介质参量表示）和初相位，$\\tilde{A}(x) = A e^{i (kx + \\varphi_0)}$ 称为波在 $x$ 处的复振幅。】\n具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 $\\omega$ 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。\n\n[figure1] \n图 2a \n（1）考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为 $\\rho$，张力为 $\\tau$，$x$ 轴沿弦线方向，如图 2a 所示。一列振幅为 $A$、初相位为 0 的简谐波沿 $x$ 轴正方向传播。求在 $t$ 时刻、$x$ 处沿 $x$ 方向单位原长弦线的动能 $\\varepsilon_k(x, t)$ 和势能 $\\varepsilon_p(x, t)$（取没有波传播时弦线的势能为零），以及瞬时能流 $I(x, t)$ 和平均能流 $\\bar{I}$。\n\n（2）弦线中同时存在沿 $x$ 轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在 $x = x_1$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$，在 $x = x_2$ 处的复振幅分别记为 $\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$，$\\tilde{A}_2$、$\\tilde{B}_2$ 可用 $\\tilde{A}_1$、$\\tilde{B}_1$ 表示为：$\\tilde{A}_2 = \\tilde{M}_{11} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{12} \\tilde{B}_1$，$\\tilde{B}_2 = \\tilde{M}_{21} \\tilde{A}_1 + \\tilde{M}_{22} \\tilde{B}_1$，其矩阵表示为：\n$$\\begin{pmatrix} \\tilde{A}_2 \\\\ \\tilde{B}_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tilde{M}_{11} & \\tilde{M}_{12} \\\\ \\tilde{M}_{21} & \\tilde{M}_{22} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix} \\equiv \\hat{\\mathbf{M}} \\begin{pmatrix} \\tilde{A}_1 \\\\ \\tilde{B}_1 \\end{pmatrix}$$ \n矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}}$ 称为从 $x = x_1$ 到 $x = x_2$ 的传输矩阵。\n考虑两根半无限长弦线在 $x = 0$ 处相连，分界面存在某种约束使其两侧的张力大小可以不等（下同），$x < 0$ 部分的弦线 1 的线密度为 $\\rho_1$、张力为 $\\tau_1$，$x > 0$ 部分的弦线 2 的线密度为 $\\rho_2$、张力为 $\\tau_2$，如图 2b 所示。\n\n[figure2] \n图 2b \n\n（2.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = 0^+$ 的传输矩阵 $\\hat{\\mathbf{M}_{12}}$。\n（2.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在分界面 $x = 0$ 处入射并发生反射和透射，求透射率 $T$（透射波的平均能流 $\\bar{I_t}$ 与入射波的平均能流 $\\bar{I_i}$ 之比）。\n\n（3）进一步考虑由弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）组成的有多个分界面的弦线系统：$x < 0$ 部分为半无限长的弦线 2，$x > 0$ 部分从左到右依次为长度为 $a$ 的弦线 1、长度为 $b$ 的弦线 2、长度为 $a$ 的弦线 1、半无限长的弦线 2，如图 2c 所示。\n\n[figure3] \n图 2c \n\n（3.1）求系统从 $x = 0^-$ 到 $x = a^+$ 的传输矩阵 $\\hat{M}_{212}$（将矩阵元复数 $\\tilde{z}$ 都表示为“$\\mathrm{Re}(z) + i\\mathrm{Im}(z)$”的形式）。\n（3.2）一列简谐波从左侧远处沿 $x$ 轴正方向传播，在各分界面发生反射和透射，求系统的透射系数 $\\tilde{t}$（$x = (2a+b)^+$ 处透射波的复振幅 $\\tilde{A}_t$ 与 $x = 0^-$ 处入射波的复振幅 $\\tilde{A}_i$ 之比）。\n\n（4）考虑长度为 $a$ 的弦线 1（$\\rho_1$、$\\tau_1$）和长度为 $b$ 的弦线 2（$\\rho_2$、$\\tau_2$）交替排列，构成空间周期为 $d = a + b$ 的周期性结构，即一维声子晶体，如图 2d 所示。根据布洛赫定理，在周期性介质中传播的一维波 $\\tilde{y}(x, t)$，可表示为复振幅周期调制的平面波形式，即 $\\tilde{y}(x, t) = \\tilde{u}_K(x) e^{i(Kx - \\omega t)}$$，其中调幅因子 $\\tilde{u}_K(x)$ 是周期为 $d$ 的函数，满足 $\\tilde{u}_K(x + d) = \\tilde{u}_K(x)$，$K$ 为布洛赫波矢。\n\n[figure4] \n图 2d\n（4.1）对于此一维声子晶体允许传播的波，求角频率 $\\omega$ 与波矢 $K$ 满足的关系式。波允许传播时 $\\omega$ 的一个连续范围为声子晶体能带中的一个“通带”，不允许传播时的一个连续范围为一个“禁带”。对于此一维声子晶体含有最低角频率的通带，求长波极限（即 $K \\to 0$）下波的相速度 $v_p$。\n（4.2）若 $\\rho_1 = 2\\rho_2$、$\\tau_1 = 2\\tau_2$、$a = 2b$，求此一维声子晶体各禁带对应 $\\omega$ 的范围，以及各禁带的角频率宽度 $\\Delta \\omega$，结果用 $\\rho_2$、$\\tau_2$、$b$ 表示。", "question": "晶体中机械波的传播模式对应的准粒子称为“声子”。一维声子晶体中，声子的能量 $\\varepsilon$、动量 $p$ 与角频率 $\\omega$、波矢 $K$ 之间满足德布罗意关系。若波矢 $K$ 在 $K_0 = \\frac{\\pi}{d}$ 附近，即 $K = K_0 + \\delta K$（$\\delta K \\ll K_0$），声子能量可表示为 $\\varepsilon(K) \\approx \\varepsilon(K_0) + \\frac{(\\hbar \\delta K)^2}{2m^*}$，$\\hbar$ 为约化普朗克常量，$m^*$ 称为声子的有效质量。对于第（4.2）问中的一维声子晶体的含有最低角频率的通带，求波矢为 $K_0$ 的声子的有效质量 $m^*$，结果用 $\\hbar$、$\\rho_2$、$\\tau_2$、$b$ 表示。", "marking": [ [ "如果解答正确写出在 $K_0 = \\frac{\\pi}{d}$ 处对应的角频率 $\\omega_0 = \\left(\\arccos \\frac{2}{3}\\right) \\frac{1}{b} \\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}} = 0.84 \\frac{1}{b} \\sqrt{\\frac{\\tau_2}{\\rho_2}}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出将色散关系在 K_0 = \\frac{\\pi}{d} 附近展开后得到的等式 -1 + \\frac{1}{2} d^2 (\\delta K)^2 = -1 - \\frac{5 \\sqrt{5}}{6} \\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}} b (\\delta \\omega)，并由此得出 \\delta \\omega = \\frac{(\\delta K)^2}{2 \\left(- \\frac{5 \\sqrt{5}}{6} \\frac{b}{d^2} \\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}\\right)}，则得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确通过与量子力学类比 $\\delta \\varepsilon = \\hbar \\delta \\omega = \\frac{(\\hbar \\delta K)^2}{2 m^*}$，并利用 $d = 3b$ 得出有效质量\n$$\nm^* = -\\frac{5\\sqrt{5}}{54} \\frac{\\hbar}{b} \\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}\n$$\n，则得 2 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{$m^* = -\\frac{5\\sqrt{5}}{54}\\frac{\\hbar}{b}\\sqrt{\\frac{\\rho_2}{\\tau_2}}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 6.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_2_1.png", "image_question/CPhO_2025_2_2.png", "image_question/CPhO_2025_2_3.png", "image_question/CPhO_2025_2_4.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_3_1", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下问题只要求导出表达式，不要代入具体数值。", "question": "取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。（$\\hat{\\mathbf{R}}$ 为 $\\mathbf{R}$ 方向的单位向量）", "marking": [ [ "如果解答正确写出点电荷在相对介电常数为 $\\epsilon_r$ 的介质中产生的电场表达式 $\\boldsymbol{E}(\\boldsymbol{R}) = -\\frac{e \\boldsymbol{R}}{4 \\pi \\epsilon_0 \\epsilon_r R^3}$（或等价形式，如 $E(R) = \\frac{e}{4\\pi\\epsilon_0\\epsilon_r R^2}$ 沿径向方向），则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\mathbf{E} = -\\frac{e \\mathbf{R}}{4 \\pi \\varepsilon_0 \\varepsilon_r R^3}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 2.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_3_2", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下问题只要求导出表达式，不要代入具体数值。\n\n（1）取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。", "question": "氦原子在电场 $\\mathbf{E}$ 作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为 $\\mathbf{p} = \\alpha \\mathbf{E}$，其中 $\\alpha$ 是氦原子的电极化率，它和相对介电常数有近似关系：$\\varepsilon_r - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\varepsilon_0} \\alpha$。求位于 $\\mathbf{R}$ 处每个氦原子受到电子的吸引力 $\\mathbf{F}$。（$\\hat{\\mathbf{R}}$ 为 $\\mathbf{R}$ 方向的单位向量）", "marking": [ [ "如果解答正确写出电偶极子在非均匀电场中受力的表达式 $\\boldsymbol{F} = +q \\boldsymbol{E}\\left(\\boldsymbol{R} + \\frac{d}{2} \\hat{\\boldsymbol{R}}\\right) - q \\boldsymbol{E}\\left(\\boldsymbol{R} - \\frac{d}{2} \\hat{\\boldsymbol{R}}\\right)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答在 $\\boldsymbol{R}$ 处对电场进行泰勒展开并保留到 $d$ 的一次项，正确得出 $\\boldsymbol{F} = \\boldsymbol{p} \\frac{\\mathrm{d} E(R)}{\\mathrm{d} R} \\hat{\\boldsymbol{R}}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出氦原子的电偶极矩 $\\boldsymbol{p} = - \\frac{\\alpha e \\boldsymbol{R}}{4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r} R^{3}}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确代入电场梯度并得出每个氦原子受力 $\\boldsymbol{F} = - \\frac{2 \\alpha e^{2}}{(4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{5}} \\hat{\\boldsymbol{R}}$，则得 1 分。否则得 0 分。" ], [ "如果解答正确写出电偶极子在非均匀电场中受力的表达式 $\\boldsymbol{F} = +q \\boldsymbol{E}\\left(\\boldsymbol{R} + \\frac{\\boldsymbol{d}}{2}\\right) - q \\boldsymbol{E}\\left(\\boldsymbol{R} - \\frac{\\boldsymbol{d}}{2}\\right)$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答在 $\\boldsymbol{R}$ 处对电场进行矢量泰勒展开并保留到 $\\boldsymbol{d}$ 的一次项，正确得出 $\\boldsymbol{F} = \\boldsymbol{p} \\cdot \\nabla_{\\boldsymbol{R}} \\boldsymbol{E}(\\boldsymbol{R})$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出氦原子的电偶极矩 $\\boldsymbol{p} = - \\frac{\\alpha e \\boldsymbol{R}}{4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r} R^{3}}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确代入电场梯度并得出每个氦原子受力 $\\boldsymbol{F} = - \\frac{2 \\alpha e^{2}}{(4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{5}} \\hat{\\boldsymbol{R}}$，则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\mathbf{F} = -\\frac{2\\alpha e^2}{(4\\pi\\varepsilon_0\\varepsilon_r)^2 R^5} \\hat{\\mathbf{R}}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 4.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_3_3", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下问题只要求导出表达式，不要代入具体数值。\n\n（1）取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。\n（2）氦原子在电场 $\\mathbf{E}$ 作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为 $\\mathbf{p} = \\alpha \\mathbf{E}$，其中 $\\alpha$ 是氦原子的电极化率，它和相对介电常数有近似关系：$\\varepsilon_r - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\varepsilon_0} \\alpha$。求位于 $\\mathbf{R}$ 处每个氦原子受到电子的吸引力。", "question": "假设距离电子很远处的压强是一个大气压。如果不考虑液氦密度的改变，求平衡时距离原点 $R$ 处的压强 $p(R)$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出氦原子数密度表达式 $n_{0} = \\frac{\\rho_{0}}{M}$，并正确写出单位体积作用力大小为 $p_{\\mathrm{p}} = - \\frac{2 n_{0} \\alpha e^{2}}{(4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{5}}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出平衡条件下压强梯度满足 $\\frac{\\mathrm{d} p}{\\mathrm{d} R} = - \\frac{2 n_{0} \\alpha e^{2}}{(4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{5}}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确通过对压强梯度积分得到 $p(R) - p(\\infty) = \\frac{n_{0} \\alpha e^{2}}{2 (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{4}}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出最终压强表达式 $p(R) = p_{0} + \\frac{n_{0} \\alpha e^{2}}{2 (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{4}}$，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$p(R) = p_0 + \\frac{n_0 \\alpha e^2}{2(4 \\pi \\varepsilon_0 \\varepsilon_r)^2 R^4}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 8.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_3_4", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下问题只要求导出表达式，不要代入具体数值。\n\n（1）取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。\n（2）氦原子在电场 $\\mathbf{E}$ 作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为 $\\mathbf{p} = \\alpha \\mathbf{E}$，其中 $\\alpha$ 是氦原子的电极化率，它和相对介电常数有近似关系：$\\varepsilon_r - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\varepsilon_0} \\alpha$。求位于 $\\mathbf{R}$ 处每个氦原子受到电子的吸引力。\n（3）假设距离电子很远处的压强是一个大气压。如果不考虑液氦密度的改变，求平衡时距离原点 $R$ 处的压强 $p(R)$。", "question": "实际上，由于上述压强的改变，液氦密度是会改变的。试利用第 (3) 问的结果求液氦密度的改变量 $\\Delta \\rho(R) \\equiv \\rho(R) - \\rho_0$ 与 $R$ 的关系，准确到元电荷量 $e$ 的最低阶非零项。", "marking": [ [ "如果解答正确写出体模量定义式 $B = \\rho \\frac{\\mathrm{d} p}{\\mathrm{d} \\rho}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出密度相对变化表达式 $\\frac{\\mathrm{d} \\rho}{\\rho} = - \\frac{2 n_{0} \\alpha e^{2}}{B (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{5}} \\mathrm{d} R$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确通过对上述式子积分得到 $\\ln \\frac{\\rho(R)}{\\rho(\\infty)} = \\frac{n_{0} \\alpha e^{2}}{2 B (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{4}}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确利用 $\\rho(R) = \\rho_0 + \\Delta \\rho(R)$ 并在小量近似下写出 $\\ln \\frac{\\rho(R)}{\\rho_0} = \\frac{\\Delta \\rho(R)}{\\rho_0}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确结合前两步结果得出 $\\Delta \\rho(R) = \\frac{n_{0} \\rho_{0} \\alpha e^{2}}{2 B (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} R^{4}}$，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\Delta \\rho(R) = \\frac{n_0 \\rho_0 \\alpha e^2}{2B(4\\pi \\varepsilon_0 \\varepsilon_r)^2 R^4}$}" ], "answer_type": [ "Equation" ], "unit": [ null ], "points": [ 10.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_3_5", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下问题只要求导出表达式，不要代入具体数值。\n\n（1）取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。\n（2）氦原子在电场 $\\mathbf{E}$ 作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为 $\\mathbf{p} = \\alpha \\mathbf{E}$，其中 $\\alpha$ 是氦原子的电极化率，它和相对介电常数有近似关系：$\\varepsilon_r - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\varepsilon_0} \\alpha$。求位于 $\\mathbf{R}$ 处每个氦原子受到电子的吸引力。\n（3）假设距离电子很远处的压强是一个大气压。如果不考虑液氦密度的改变，求平衡时距离原点 $R$ 处的压强 $p(R)$。\n（4）实际上，由于上述压强的改变，液氦密度是会改变的。试利用第 (3) 问的结果求液氦密度的改变量 $\\Delta \\rho(R) \\equiv \\rho(R) - \\rho_0$ 与 $R$ 的关系，准确到元电荷量 $e$ 的最低阶非零项。", "question": "气泡外液氦密度的改变是由于液氦被电子吸引过来所导致的。假设气泡半径为 $r$，计算被电子吸引过来的液氦的总质量 $\\Delta M_p$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出被电子吸引而增加的液氦总质量表达式 $\\Delta M_{p} = \\int \\Delta \\rho(R) \\, \\mathrm{d}V = 4\\pi \\int_{r}^{\\infty} \\Delta \\rho(R) R^{2} \\, \\mathrm{d}R$，并正确计算积分得到 $\\Delta M_{p} = \\frac{2 \\pi \\alpha e^{2} n_{0} \\rho_{0}}{B (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} r}$，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\Delta M_p = \\frac{2\\pi \\alpha e^2 n_0 \\rho_0}{B(4\\pi \\varepsilon_0 \\varepsilon_r)^2 r}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 2.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_3_6", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下问题只要求导出表达式，不要代入具体数值。\n\n（1）取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。\n（2）氦原子在电场 $\\mathbf{E}$ 作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为 $\\mathbf{p} = \\alpha \\mathbf{E}$，其中 $\\alpha$ 是氦原子的电极化率，它和相对介电常数有近似关系：$\\varepsilon_r - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\varepsilon_0} \\alpha$。求位于 $\\mathbf{R}$ 处每个氦原子受到电子的吸引力。\n（3）假设距离电子很远处的压强是一个大气压。如果不考虑液氦密度的改变，求平衡时距离原点 $R$ 处的压强 $p(R)$。\n（4）实际上，由于上述压强的改变，液氦密度是会改变的。试利用第 (3) 问的结果求液氦密度的改变量 $\\Delta \\rho(R) \\equiv \\rho(R) - \\rho_0$ 与 $R$ 的关系，准确到元电荷量 $e$ 的最低阶非零项。\n（5）气泡外液氦密度的改变是由于液氦被电子吸引过来所导致的。假设气泡半径为 $r$，计算被电子吸引过来的液氦的总质量 $\\Delta M_p$。", "question": "由于不确定性原理，电子会不停的运动，不能碰撞气泡壁产生压强。已知在半径为 $r$ 的气泡里，电子的平均动量大小为 $\\frac{h}{2r}$。求电子对气泡壁的压强 $p_e$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出电子零点运动动能表达式 $\\varepsilon_K = \\frac{h^2}{8 m_{\\mathrm{e}} r^2}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出气泡内电子数密度 $n = \\frac{3}{4 \\pi r^3}$，则得 2 分。否则得 0 分.", "如果解答正确利用理想气体压强公式 $p_e = \\frac{2}{3} n \\varepsilon_K$ 推导出电子对气泡壁的压强 $p_e = \\frac{h^2}{16 \\pi m_{\\mathrm{e}} r^5}$，则得 2 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{$p_e = \\frac{h^2}{16\\pi m_e r^5}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 6.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_3_7", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下第（1）至第（6）问只要求导出表达式，不要代入具体数值。\n\n（1）取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。\n（2）氦原子在电场 $\\mathbf{E}$ 作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为 $\\mathbf{p} = \\alpha \\mathbf{E}$，其中 $\\alpha$ 是氦原子的电极化率，它和相对介电常数有近似关系：$\\varepsilon_r - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\varepsilon_0} \\alpha$。求位于 $\\mathbf{R}$ 处每个氦原子受到电子的吸引力。\n（3）假设距离电子很远处的压强是一个大气压。如果不考虑液氦密度的改变，求平衡时距离原点 $R$ 处的压强 $p(R)$。\n（4）实际上，由于上述压强的改变，液氦密度是会改变的。试利用第 (3) 问的结果求液氦密度的改变量 $\\Delta \\rho(R) \\equiv \\rho(R) - \\rho_0$ 与 $R$ 的关系，准确到元电荷量 $e$ 的最低阶非零项。\n（5）气泡外液氦密度的改变是由于液氦被电子吸引过来所导致的。假设气泡半径为 $r$，计算被电子吸引过来的液氦的总质量 $\\Delta M_p$。\n（6）由于不确定性原理，电子会不停的运动，不能碰撞气泡壁产生压强。已知在半径为 $r$ 的气泡里，电子的平均动量大小为 $\\frac{h}{2r}$。求电子对气泡壁的压强。", "question": "泡利排斥作用的力程量级约为 $10^{-9} \\text{m}$，试估算在气泡壁上不同作用对压强的贡献，单位用 atm 表示：（1）大气压强 $p_0$，（2）极化导致的压强 $p_p$，（3）表面张力导致的压强 $p_s$；只考虑最重要的作用，（4）导出平衡时气泡的半径 $r$ 的表达式，（5）并求其数值。", "marking": [ [ "如果解答正确写出平衡条件 $p_{e} = p(r) + \\frac{2 \\sigma}{r}$，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出电子压强与外部压强平衡的完整表达式 $\\frac{h^{2}}{16 \\pi m_{\\mathrm{e}} r^{5}} = p_{0} + \\frac{n_{0} \\alpha e^{2}}{2 (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} r^{4}} + \\frac{2 \\sigma}{r}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出大气压强 $p_{0} = 1\\ \\text{atm}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出极化导致的压强 $p_{\\mathrm{p}} = \\frac{n_{0} \\alpha e^{2}}{2 (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} r^{4}} = \\frac{(\\epsilon_{r} - 1) e^{2}}{2 \\varepsilon_{0} (4 \\pi \\epsilon_{r})^{2} r^{4}} = 4.58 \\times 10^{5}\\ \\mathrm{N/m^{2}} \\simeq 4.58\\ \\mathrm{atm}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出表面张力贡献的压强 $p_{s} = \\frac{2 \\sigma}{r} = 7.4 \\times 10^{5}\\ \\mathrm{N/m^{2}} \\simeq 7.4\\ \\mathrm{atm}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确在仅保留表面张力项的近似下，得出气泡半径表达式 $r = \\left( \\frac{h^{2}}{32 \\pi m_{\\mathrm{e}} \\sigma} \\right)^{\\frac{1}{4}}$，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$p_0 = 1 \\text{atm}$}", "\\boxed{$p_p = 4.58 \\text{atm}$}", "\\boxed{$p_s = 7.4 \\text{atm}$}", "\\boxed{$r = \\left(\\frac{h^2}{32\\pi m_e \\sigma}\\right)^{1/4}$}", "\\boxed{$1.9 \\times 10^{-9} m$}" ], "answer_type": [ "Numerical Value", "Numerical Value", "Numerical Value", "Expression", "Numerical Value" ], "unit": [ "atm", "atm", "atm", null, "m" ], "points": [ 2.0, 2.0, 2.0, 1.0, 1.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_3_8", "context": "在液氦中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氦原子会受到电子的强烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氦原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”。此外氦原子还会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氦原子密度升高。电子加速时会带着气泡和被吸引的氦原子一起加速，因此液氦里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量 $m_e$。已知在一个标准大气压 $p_0 = 1.0 \\times 10^5 \\text{Pa}$ 下，液氦的密度 $\\rho_0 = 125 \\text{kg/m^3}$，表面张力系数 $\\sigma = 3.7 \\times 10^{-4} \\text{N/m}$，相对介电常数 $\\varepsilon_r = 1.0556$，体模量 $B \\equiv -V \\frac{dp}{dV} = 8.24 \\times 10^8 kg/(m s^2)$（其中 $V$ 是体积，$p$ 是压强）；$m_e = 9.11 \\times 10^{-31} \\text{kg}$，真空介电常量 $\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，普朗克常量 $h = 6.626 \\times 10^{-34} \\text{m}^2 \\text{kg/s}$，元电荷量 $e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，氦原子质量 $M = 6.646 \\times 10^{-27} \\text{kg}$。\n以下第（1）至第（6）问只要求导出表达式，不要代入具体数值。\n\n（1）取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外 $\\mathbf{R}$ 处的电场强度 $\\mathbf{E}$。\n（2）氦原子在电场 $\\mathbf{E}$ 作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为 $\\mathbf{p} = \\alpha \\mathbf{E}$，其中 $\\alpha$ 是氦原子的电极化率，它和相对介电常数有近似关系：$\\varepsilon_r - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\varepsilon_0} \\alpha$。求位于 $\\mathbf{R}$ 处每个氦原子受到电子的吸引力。\n（3）假设距离电子很远处的压强是一个大气压。如果不考虑液氦密度的改变，求平衡时距离原点 $R$ 处的压强 $p(R)$。\n（4）实际上，由于上述压强的改变，液氦密度是会改变的。试利用第 (3) 问的结果求液氦密度的改变量 $\\Delta \\rho(R) \\equiv \\rho(R) - \\rho_0$ 与 $R$ 的关系，准确到元电荷量 $e$ 的最低阶非零项。\n（5）气泡外液氦密度的改变是由于液氦被电子吸引过来所导致的。假设气泡半径为 $r$，计算被电子吸引过来的液氦的总质量 $\\Delta M_p$。\n（6）由于不确定性原理，电子会不停的运动，不能碰撞气泡壁产生压强。已知在半径为 $r$ 的气泡里，电子的平均动量大小为 $\\frac{h}{2r}$。求电子对气泡壁的压强。\n（7）泡利排斥作用的力程量级约为 $10^{-9} \\text{m}$，试估算在气泡壁上不同作用对压强的贡献；只考虑最重要的作用，导出平衡时气泡的半径 $r$ 的表达式，并求其数值。", "question": "已知体积为 $V$ 的球体在密度为 $\\rho_l$ 的液体中加速时会带动周围液体一起加速，这等效于球体质量增加 $\\Delta M_b = \\frac{\\rho_l V}{2}$。求电子在液氦中加速运动时的总有效质量与电子质量的比值。", "marking": [ [ "如果解答正确写出总有效质量表达式 $m^{*} = \\frac{2 \\pi \\alpha e^{2} n_{0} \\rho_{0}}{B (4 \\pi \\epsilon_{0} \\epsilon_{r})^{2} r} + \\frac{1}{2} \\frac{4 \\pi r^{3}}{3} \\rho_{0}$，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确利用关系 $\\epsilon_{r} - 1 \\approx \\frac{\\rho_0}{M \\epsilon_0} \\alpha$ 将有效质量改写为 $m^{*} = \\left[ \\frac{2 \\pi (\\epsilon_{r} - 1) e^{2}}{B \\epsilon_{0} (4 \\pi \\epsilon_{r})^{2} r} + \\frac{2 \\pi r^{3}}{3} \\right] \\rho_{0}$，则得 2 分。否则得 0 分.", "如果解答正确代入物理量后得出 $\\frac{m^{*}}{m_{\\mathrm{e}}} = 2 \\times 10^{6}$，则得 2 分。否则得 0 分." ] ], "answer": [ "\\boxed{$2 \\times 10^6$}" ], "answer_type": [ "Numerical Value" ], "unit": [ null ], "points": [ 5.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_4_1", "context": "拉格朗日点在空间科学研究中有重要意义。在该点附近，探测器能够以较少的燃料消耗长期驻留，适合部署望远镜、空间站以进行持续的天文观测。三个天体 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$ 的质量分别为 $m_1$、$m_2$、$m_3$，且 $m_3$ 远小于 $m_1$ 和 $m_2$，$S_3$ 对大质量天体 $S_1$ 和 $S_2$ 的影响可忽略。假设 $S_1$ 和 $S_2$ 绕它们的质心 $O$ 做匀速圆周运动，两者之间的距离为 $R$。当小质量天体 $S_3$ 处于空间中某些特殊点时，它相对于 $S_1$ 和 $S_2$ 可保持静止，这些点称为拉格朗日点。记引力常量为 $G$，$\\alpha = \\frac{m_2}{m_1 + m_2}$，$\\beta = 1 - \\alpha$。", "question": "求 $S_1$ 和 $S_2$ 绕其质心 $O$ 旋转的角速度 $\\omega$。", "marking": [ [ "如果解答写出受力-向心关系（任选其一且等价均可）：m_1\\omega^2\\frac{m_2R}{m_1+m_2}=\\frac{Gm_1m_2}{R^2} 或 m_2\\omega^2\\frac{m_1R}{m_1+m_2}=\\frac{Gm_1m_2}{R^2}，其中 m_1,m_2 为两体质量，R 为两体间距，G 为万有引力常数，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果由解答正确推出 \\omega=\\sqrt{\\frac{G(m_1+m_2)}{R^3}}（使用等价推导如相对运动或开普勒第三定律亦可），则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\omega = \\sqrt{\\frac{G (m_1 + m_2)}{R^3}}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 3.0 ], "modality": "text-only", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_4_2", "context": "拉格朗日点在空间科学研究中有重要意义。在该点附近，探测器能够以较少的燃料消耗长期驻留，适合部署望远镜、空间站以进行持续的天文观测。三个天体 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$ 的质量分别为 $m_1$、$m_2$、$m_3$，且 $m_3$ 远小于 $m_1$ 和 $m_2$，$S_3$ 对大质量天体 $S_1$ 和 $S_2$ 的影响可忽略。假设 $S_1$ 和 $S_2$ 绕它们的质心 $O$ 做匀速圆周运动，两者之间的距离为 $R$。当小质量天体 $S_3$ 处于空间中某些特殊点时，它相对于 $S_1$ 和 $S_2$ 可保持静止，这些点称为拉格朗日点。记引力常量为 $G$，$\\alpha = \\frac{m_2}{m_1 + m_2}$，$\\beta = 1 - \\alpha$。\n（1）求 $S_1$ 和 $S_2$ 绕其质心 $O$ 旋转的角速度 $\\omega$。\n在下面的问题中，假设 $\\alpha \\ll 1$。", "question": "求所有拉格朗日点的位置。（以三维坐标 $(x, y, z)$ 表示其坐标）", "marking": [ [ "如果解答正确写出两主星对 S_3 的引力，并同时给出向量与分量形式：\\\\ \\mathbf{F}_1=-\\frac{Gm_1m_3}{\\rho_1^3}\\,\\boldsymbol{\\rho}_1=-\\frac{Gm_1m_3}{\\rho_1^3}\\Big[(x+\\alpha R)\\mathbf e_x+y\\mathbf e_y+z\\mathbf e_z\\Big],\\\\ \\mathbf{F}_2=-\\frac{Gm_2m_3}{\\rho_2^3}\\,\\boldsymbol{\\rho}_2=-\\frac{Gm_2m_3}{\\rho_2^3}\\Big[(x-\\beta R)\\mathbf e_x+y\\mathbf e_y+z\\mathbf e_z\\Big]，其中 \\alpha\\equiv\\frac{m_2}{m_1+m_2},\\ \\beta\\equiv\\frac{m_1}{m_1+m_2},\\ \\rho_1\\equiv\\lVert\\boldsymbol{\\rho}_1\\rVert,\\ \\rho_2\\equiv\\lVert\\boldsymbol{\\rho}_2\\rVert，得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出离心力与科里奥利力：\\\\ \\mathbf f_c=-m_3\\boldsymbol\\omega\\times(\\boldsymbol\\omega\\times\\mathbf r)=m_3\\omega^2(x\\mathbf e_x+y\\mathbf e_y),\\\\ \\mathbf f_{cor}=-2m_3\\boldsymbol\\omega\\times\\dot{\\mathbf r}=2m_3\\omega(\\dot y\\mathbf e_x-\\dot x\\mathbf e_y)，得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出拉格朗日点平衡条件的方程组：\\\\ \\begin{cases}-\\frac{Gm_1(x+\\alpha R)}{\\rho_1^3}-\\frac{Gm_2(x-\\beta R)}{\\rho_2^3}+\\omega^2x=0\\\\ \\Big(-\\frac{Gm_1}{\\rho_1^3}-\\frac{Gm_2}{\\rho_2^3}+\\omega^2\\Big)y=0\\\\ \\Big(-\\frac{Gm_1}{\\rho_1^3}-\\frac{Gm_2}{\\rho_2^3}\\Big)z=0\\end{cases}，得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出 z=0，得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出 y 分量条件：\\\\ -\\frac{Gm_1}{\\rho_1^3}-\\frac{Gm_2}{\\rho_2^3}+\\omega^2=0，得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确在 y=0 情形给出 x 轴方程（或任一等价形式）：\\\\ -\\frac{Gm_1(x+\\alpha R)}{|x+\\alpha R|^3}-\\frac{Gm_2(x-\\beta R)}{|x-\\beta R|^3}+\\omega^2x=0，得 1 分。否则得 0 分。（说明：若采用相反的惯性力号约定，写作 \\; -\\omega^2x\\; 亦可视为等价并给分）", "如果解答正确作代换 x=R(u+\\beta) 并用 Gm_1=\\beta\\omega^2R^3,\\ Gm_2=\\alpha\\omega^2R^3 将 x 轴方程化为关于 u 的五次方程：\\\\ u^5\\big[(1+u)^2-s_1\\big]=\\alpha\\big[2s_0u+(1+s_0-s_1)u^2+2u^3+u^4\\big]，其中 s_0\\equiv\\mathrm{sign}(u),\\ s_1\\equiv\\mathrm{sign}(1+u)，得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出 L_1 的近似：\\\\ u\\approx-\\Big(\\frac{\\alpha}{3}\\Big)^{\\!\\frac{1}{3}}\\; \\Rightarrow\\; x\\approx R\\Big[1-\\Big(\\frac{\\alpha}{3}\\Big)^{\\!\\frac{1}{3}}\\Big]，得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出 L_2 的近似：\\\\ u\\approx\\Big(\\frac{\\alpha}{3}\\Big)^{\\!\\frac{1}{3}}\\; \\Rightarrow\\; x\\approx R\\Big[1+\\Big(\\frac{\\alpha}{3}\\Big)^{\\!\\frac{1}{3}}\\Big]，得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出 L_3 的近似：\\\\ u\\approx-2+\\frac{7}{12}\\alpha\\; \\Rightarrow\\; x\\approx-R\\Big(1+\\frac{5}{12}\\alpha\\Big)，得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出 L_4 的坐标：\\\\ x=\\frac{\\beta-\\alpha}{2}R=\\frac{m_1-m_2}{2(m_1+m_2)}R,\\quad y=\\frac{\\sqrt{3}}{2}R,\\quad z=0，得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出 L_5 的坐标：\\\\ x=\\frac{\\beta-\\alpha}{2}R=\\frac{m_1-m_2}{2(m_1+m_2)}R,\\quad y=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}R,\\quad z=0，得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$(R [1 - (\\frac{\\alpha}{3})^{\\frac{1}{3}}], 0, 0)$}", "\\boxed{$(R [1 + (\\frac{\\alpha}{3})^{\\frac{1}{3}}], 0, 0)$}", "\\boxed{$(-R [1 + \\frac{5}{12} \\alpha], 0, 0)$}", "\\boxed{$(\\frac{m_1 - m_2}{2(m_1 + m_2)} R, \\frac{\\sqrt{3}}{2} R, 0)$}", "\\boxed{$(\\frac{m_1 - m_2}{2(m_1 + m_2)} R, -\\frac{\\sqrt{3}}{2} R, 0)$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression", "Expression", "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null, null, null, null ], "points": [ 5.0, 5.0, 5.0, 3.0, 3.0 ], "modality": "text-only", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_4_3", "context": "拉格朗日点在空间科学研究中有重要意义。在该点附近，探测器能够以较少的燃料消耗长期驻留，适合部署望远镜、空间站以进行持续的天文观测。三个天体 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$ 的质量分别为 $m_1$、$m_2$、$m_3$，且 $m_3$ 远小于 $m_1$ 和 $m_2$，$S_3$ 对大质量天体 $S_1$ 和 $S_2$ 的影响可忽略。假设 $S_1$ 和 $S_2$ 绕它们的质心 $O$ 做匀速圆周运动，两者之间的距离为 $R$。当小质量天体 $S_3$ 处于空间中某些特殊点时，它相对于 $S_1$ 和 $S_2$ 可保持静止，这些点称为拉格朗日点。记引力常量为 $G$，$\\alpha = \\frac{m_2}{m_1 + m_2}$，$\\beta = 1 - \\alpha$。\n（1）求 $S_1$ 和 $S_2$ 绕其质心 $O$ 旋转的角速度 $\\omega$。\n在下面的问题中，假设 $\\alpha \\ll 1$。\n（2）求所有拉格朗日点的位置。", "question": "分析 $S_3$ 在距离 $S_2$ 最近的拉格朗日点上平衡的稳定性。请选择正确的选项：（A）稳定平衡、（B）不稳定平衡、（C）随遇平衡。", "marking": [ [ "如果解答正确在 L_1/L_2 附近对平面内与垂直方向的小扰动 \\delta x,\\ \\delta y,\\ \\delta z 作一阶线性化（\\omega 为常值角速度，点表示对时间 t 求导），并给出线性系统：\\\\ \\frac{\\mathrm d^2(\\delta x)}{\\mathrm dt^2}=9\\omega^2\\,\\delta x+2\\omega\\,\\frac{\\mathrm d(\\delta y)}{\\mathrm dt},\\quad \\frac{\\mathrm d^2(\\delta y)}{\\mathrm dt^2}=-3\\omega^2\\,\\delta y-2\\omega\\,\\frac{\\mathrm d(\\delta x)}{\\mathrm dt},\\quad \\frac{\\mathrm d^2(\\delta z)}{\\mathrm dt^2}=-4\\omega^2\\,\\delta z， 则得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确提出指数试解并明确写出：\\\\ \\delta x=\\delta x_0\\,e^{\\lambda t},\\quad \\delta y=\\delta y_0\\,e^{\\lambda t}（\\delta z 可同理，不必重复），其中 \\delta x_0,\\delta y_0 为常数、\\lambda 为特征指数，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确得到关于 \\delta x_0,\\delta y_0 的齐次代数方程组：\\\\ (\\lambda^2-9\\omega^2)\\,\\delta x_0-2\\omega\\lambda\\,\\delta y_0=0,\\quad 2\\omega\\lambda\\,\\delta x_0+(\\lambda^2+3\\omega^2)\\,\\delta y_0=0， 则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确由非零解条件 \\det\\begin{pmatrix}\\lambda^2-9\\omega^2 & -2\\omega\\lambda\\\\ 2\\omega\\lambda & \\lambda^2+3\\omega^2\\end{pmatrix}=0 推出特征方程：\\\\ \\lambda^4-2\\omega^2\\lambda^2-27\\omega^4=0， 则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确解出特征根并写明：\\\\ \\lambda=\\pm\\sqrt{1+2\\sqrt{7}}\\,\\omega \\quad \\text{或} \\quad \\lambda=\\pm i\\,\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}\\,\\omega， 并明确指出存在正实根 \\lambda=+\\sqrt{1+2\\sqrt{7}}\\,\\omega \\Rightarrow L_1,L_2 为不稳定平衡， 则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{B}", "\\boxed{B}" ], "answer_type": [ "Multiple Choice", "Multiple Choice" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 4.5, 4.5 ], "modality": "text-only", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_4_4", "context": "拉格朗日点在空间科学研究中有重要意义。在该点附近，探测器能够以较少的燃料消耗长期驻留，适合部署望远镜、空间站以进行持续的天文观测。三个天体 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$ 的质量分别为 $m_1$、$m_2$、$m_3$，且 $m_3$ 远小于 $m_1$ 和 $m_2$，$S_3$ 对大质量天体 $S_1$ 和 $S_2$ 的影响可忽略。假设 $S_1$ 和 $S_2$ 绕它们的质心 $O$ 做匀速圆周运动，两者之间的距离为 $R$。当小质量天体 $S_3$ 处于空间中某些特殊点时，它相对于 $S_1$ 和 $S_2$ 可保持静止，这些点称为拉格朗日点。记引力常量为 $G$，$\\alpha = \\frac{m_2}{m_1 + m_2}$，$\\beta = 1 - \\alpha$。\n（1）求 $S_1$ 和 $S_2$ 绕其质心 $O$ 旋转的角速度 $\\omega$。\n在下面的问题中，假设 $\\alpha \\ll 1$。\n（2）求所有拉格朗日点的位置。\n（3）分析 $S_3$ 在距离 $S_2$ 最近的拉格朗日点上平衡的稳定性。", "question": "考虑 $S_3$ 在距离 $S_2$ 最近的拉格朗日点附近运动，假设可调控 $S_3$ 的初始偏离位置和初始速度使其位置偏离量随时间指数变化的模式不出现，求 $S_3$ 的位置随时间变化的表达式（在动力学方程中，仅保留偏移量的一阶项；初始条件：$t = 0$ 时，$\\delta x(0) = \\rho_0, \\delta y(0) = \\eta_0, \\delta z(0) = \\zeta_0, \\delta \\dot{z}(0) = \\dot{\\zeta}_0$），写出（1）$\\delta x$ 随时间变化的表达式，（2）$\\delta y$ 随时间变化的表达式，（3）$\\delta z$ 随时间变化的表达式;（4）求 $x$ 方向的初始速度 $\\dot{\\rho}_0$ 和初始位置应满足的条件，（5）求 $y$ 方向的初始速度 $\\dot{\\eta}_0$ 和初始位置应满足的条件。", "marking": [ [ "如果解答正确写出稳定解的一般形式：\\\\ \\begin{cases} \\Delta x = a_1 \\cos \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) + a_2 \\sin \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) \\\\ \\Delta y = b_1 \\cos \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) + b_2 \\sin \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) \\\\ \\delta z = c_1 \\cos(2\\omega t) + c_2 \\sin(2\\omega t) \\end{cases}，则得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出 x、y 振幅间的系数关系：b_1 = \\frac{\\sqrt{7}+4}{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}}a_2, \\quad b_2 = -\\frac{\\sqrt{7}+4}{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}}a_1，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确利用初始条件求出所有系数：a_1 = \\rho_0, a_2 = \\frac{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}}{\\sqrt{7}+4} \\eta_0, b_1 = \\eta_0, b_2 = -\\frac{\\sqrt{7}+4}{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}} \\rho_0, c_1 = \\zeta_0, c_2 = \\frac{\\dot{\\zeta}_0}{2\\omega}，则得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出S_3的位置随时间的变化：\\\\ \\begin{cases} \\Delta x = \\rho_0 \\cos \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) + \\frac{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}}{\\sqrt{7}+4} \\eta_0 \\sin \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) \\\\ \\Delta y = \\eta_0 \\cos \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) - \\frac{\\sqrt{7}+4}{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}} \\rho_0 \\sin \\left( \\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) \\\\ \\delta z = \\zeta_0 \\cos(2\\omega t) + \\frac{\\dot{\\zeta}_0}{2\\omega} \\sin(2\\omega t) \\end{cases}，则得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出初始速度约束：\\dot{\\rho}_0 = \\frac{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}}{\\sqrt{7}+4} \\eta_0 \\omega, \\quad \\dot{\\eta}_0 = -(\\sqrt{7}+4) \\rho_0 \\omega，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\delta x = \\rho_0 \\cos\\left(\\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) + \\frac{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}}{\\sqrt{7}+4} \\eta_0 \\sin\\left(\\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right)$}", "\\boxed{$\\delta y = \\eta_0 \\cos\\left(\\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right) - \\frac{\\sqrt{7}+4}{\\sqrt{2\\sqrt{7}-1}} \\rho_0 \\sin\\left(\\sqrt{2\\sqrt{7}-1} \\omega t \\right)$}", "\\boxed{$\\delta z = \\zeta_0 \\cos(2\\omega t) + \\frac{\\dot{\\zeta}_0}{2\\omega} \\sin(2\\omega t)$}", "\\boxed{$\\dot{\\rho}_0 = \\frac{2\\sqrt{7}-1}{\\sqrt{7}+4} \\eta_0 \\omega$}", "\\boxed{$\\dot{\\eta}_0 = -(\\sqrt{7}+4) \\rho_0 \\omega$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression", "Expression", "Equation", "Equation" ], "unit": [ null, null, null, null, null ], "points": [ 3.0, 3.0, 3.0, 1.5, 1.5 ], "modality": "text-only", "field": "Mechanics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_5_1", "context": "在极端高温和高密度环境下，原子核的反应达到动态平衡，各种核素的丰度不再随时间变化，仅由温度、密度和系统的化学组成决定。原子核的无规则热运动的动能远小于其静止能量，可视为非相对论粒子。粒子的数密度在动量空间的分布遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布 $f(p) = \\frac{1}{h^{3}} \\exp\\left[\\frac{\\mu-E(p)}{k_{B}T}\\right]$，这里 $h$ 是普朗克常量，$k_B$ 是玻尔兹曼常量，$\\mu$ 是粒子的化学势，$E(p)$是动量为 $p$ 的粒子的能量。不考虑粒子的自旋。已知光子的化学势为零。当某一反应达到平衡时候，反应物的总化学势与生成物的总化学势相等。光在真空中的速度为 $c$.", "question": "原子核的静止质量为 $m$，当温度为 $T$、原子核的数密度为 $n$ 时，求原子核的化学势 $\\mu$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出非相对论极限能量展开式：\\(E = \\sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2} \\approx m c^2 + \\frac{p^2}{2 m}\\)，则得 2 分；否则得 0 分。说明：\\(m\\) 为粒子静质量，\\(p\\) 为动量，\\(c\\) 为光速。", "如果解答正确由麦克斯韦-玻尔兹曼分布正确推导出数密度：\\(n = \\left( \\frac{2\\pi m k_B T}{h^2} \\right)^{3/2} \\exp\\!\\left( \\frac{\\mu - m c^2}{k_B T} \\right)\\)，则得 4 分；否则得 0 分。要求包含高斯积分计算：\\(\\int_0^{+\\infty} p^2 \\exp\\!\\left( - \\frac{p^2}{2 m k_B T} \\right) \\mathrm{d}p = \\frac{\\sqrt{\\pi}}{4} (2 m k_B T)^{3/2}\\)。说明：\\(n\\) 为数密度，\\(\\mu\\) 为化学势，\\(k_B\\) 为玻尔兹曼常数，\\(T\\) 为温度，\\(h\\) 为普朗克常数。", "如果解答正确由上式正确给出化学势表达式：\\(\\mu = m c^2 + k_B T \\ln\\!\\left[ n \\left( \\frac{h^2}{2\\pi m k_B T} \\right)^{3/2} \\right] \\)，则得 2 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\mu = m c^{2} + k_{B} T \\ln \\left[ n \\left( \\frac{h^{2}}{2\\pi m k_{B} T} \\right)^{\\frac{3}{2}} \\right]$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 8.0 ], "modality": "text-only", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_5_2", "context": "在极端高温和高密度环境下，原子核的反应达到动态平衡，各种核素的丰度不再随时间变化，仅由温度、密度和系统的化学组成决定。原子核的无规则热运动的动能远小于其静止能量，可视为非相对论粒子。粒子的数密度在动量空间的分布遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布 $f(p) = \\frac{1}{h^{3}} \\exp\\left[\\frac{\\mu-E(p)}{k_{B}T}\\right]$，这里 $h$ 是普朗克常量，$k_B$ 是玻尔兹曼常量，$\\mu$ 是粒子的化学势，$E(p)$是动量为 $p$ 的粒子的能量。不考虑粒子的自旋。已知光子的化学势为零。当某一反应达到平衡时候，反应物的总化学势与生成物的总化学势相等。光在真空中的速度为 $c$.\n（1）原子核的静止质量为 $m$，当温度为 $T$、原子核的数密度为 $n$ 时，求原子核的化学势 $\\mu$。", "question": "温度为 $T$ 时，原子核 X 的光致分解与合成反应达到动态平衡 ${}_{Z}^{A}X + \\gamma \\rightleftharpoons Zp + Nn$ 这里 $\\gamma$、$p$、$n$ 分别表示光子、质子、中子，$Z$ 是核素的原子序数或者质子数，$N$ 是中子数，$A = Z + N $是质量数。求此时原子核的数密度与质子的数密度、中子的数密度之间的关系。原子核X的质量和总结合能分别为 $m_{X}$ 和 $B_{X}$.", "marking": [ [ "如果解答正确写出平衡条件的化学势守恒：\\(\\mu_X + \\mu_Y = Z\\,\\mu_p + N\\,\\mu_n\\) 且指出光子 \\(Y=\\gamma\\) 的化学势为 \\(\\mu_Y = 0\\)，则得 3 分；否则得 0 分。说明：\\(Z\\) 为质子数，\\(N\\) 为中子数。", "如果解答正确据此写出 \\(\\mu_X = Z\\,\\mu_p + N\\,\\mu_n\\)，则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确用理想稀薄极限公式将 \\(\\exp(\\mu_X/(k_B T))\\) 表成 \\(n_p, n_n\\) 与质量参数：\\(\\exp\\!\\left( \\frac{\\mu_X}{k_B T} \\right) = n_p^Z n_n^N \\left( \\frac{h^2}{2\\pi k_B T} \\right)^{\\tfrac{3}{2}(Z+N)} \\left( \\frac{1}{m_p^Z m_n^N} \\right)^{\\tfrac{3}{2}} \\exp\\!\\left( \\frac{(Z m_p + N m_n) c^2}{k_B T} \\right)\\)，则得 3 分；否则得 0 分。说明：\\(m_p, m_n\\) 分别为质子与中子质量，\\(n_p, n_n\\) 分别为其数密度。", "如果解答正确正确定义核 \\(X\\) 的结合能：\\(B_X = (Z m_p + N m_n - m_X) c^2\\)，则得 2 分；否则得 0 分。说明：\\(m_X\\) 为核 \\(X\\) 的质量。", "如果解答正确得到平衡时核 \\(X\\) 的数密度：\\(n_X = \\left( \\frac{m_X}{m_p^Z m_n^N} \\right)^{3/2} \\left( \\frac{h^2}{2\\pi k_B T} \\right)^{\\tfrac{3}{2}(A-1)} n_p^Z n_n^N \\exp\\!\\left( \\frac{B_X}{k_B T} \\right)\\)，其中 \\(A=Z+N\\)，则得 5 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$n_X = (\\frac{m_{X}}{m_{p}^{Z} m_{n}^{N}})^{\\frac{3}{2}} (\\frac{h^{2}}{2\\pi k_{B}T})^{3(A-1)/2} n_{p}^{Z} n_{n}^{N} e^{B_{X}/(k_{B}T)}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 14.0 ], "modality": "text-only", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_5_3", "context": "在极端高温和高密度环境下，原子核的反应达到动态平衡，各种核素的丰度不再随时间变化，仅由温度、密度和系统的化学组成决定。原子核的无规则热运动的动能远小于其静止能量，可视为非相对论粒子。粒子的数密度在动量空间的分布遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布 $f(p) = \\frac{1}{h^{3}} \\exp\\left[\\frac{\\mu-E(p)}{k_{B}T}\\right]$，这里 $h$ 是普朗克常量，$k_B$ 是玻尔兹曼常量，$\\mu$ 是粒子的化学势，$E(p)$是动量为 $p$ 的粒子的能量。不考虑粒子的自旋。已知光子的化学势为零。当某一反应达到平衡时候，反应物的总化学势与生成物的总化学势相等。光在真空中的速度为 $c$.\n（1）原子核的静止质量为 $m$，当温度为 $T$、原子核的数密度为 $n$ 时，求原子核的化学势 $\\mu$。\n（2）温度为 $T$ 时，原子核 X 的光致分解与合成反应达到动态平衡 ${}_{Z}^{A}X + \\gamma \\rightleftharpoons Zp + Nn$ 这里 $\\gamma$、$p$、$n$ 分别表示光子、质子、中子，$Z$ 是核素的原子序数或者质子数，$N$ 是中子数，$A = Z + N $是质量数。求此时原子核的数密度与质子的数密度、中子的数密度之间的关系。原子核X的质量和总结合能分别为 $m_{X}$ 和 $B_{X}$.", "question": "温度为 $T$ 时，氘核 ${}_{1}^{2} H \\equiv D$ 的光致分解与合成反应达到动态平衡 $D + \\gamma \\rightleftharpoons p + n$，求此时粒子数密度之比 $\\frac{n_{D}}{n_{p} n_{n}}$ 的表达式，其中 $n_{a}$ 是粒子a的数密度（a=D,p,n）。氘核的质量和结合能分别为 $m_{D}$ 和 $B_{D}$.", "marking": [ [ "如果解答正确在反应 \\(D + \\gamma \\rightleftharpoons p + n\\) 的平衡条件下，写出 \\(n_D = \\left( \\frac{m_D}{m_p m_n} \\right)^{3/2} \\left( \\frac{h^2}{2\\pi k_B T} \\right)^{3/2} n_p n_n \\exp\\!\\left( \\frac{B_D}{k_B T} \\right)\\)，则得 2 分；否则得 0 分。说明：\\(m_D\\) 为氘核质量，\\(n_D\\) 为氘的数密度。", "如果解答正确正确定义氘的结合能：\\(B_D = (m_p + m_n - m_D) c^2\\)，则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确给出数密度之比：\\(\\dfrac{n_D}{n_p n_n} = \\left( \\dfrac{m_D}{m_p m_n} \\cdot \\dfrac{h^2}{2\\pi k_B T} \\right)^{3/2} \\exp\\!\\left( \\dfrac{B_D}{k_B T} \\right)\\)，则得 3 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\frac{n_{\\mathrm{D}}}{n_{\\mathrm{p}} n_{\\mathrm{n}}} = \\left( \\frac{m_{\\mathrm{D}}}{m_{\\mathrm{p}} m_{\\mathrm{n}}} \\frac{h^{2}}{2\\pi k_{B}T} \\right)^{3/2} \\mathrm{e}^{B_{\\mathrm{D}} / (k_{B}T)}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 7.0 ], "modality": "text-only", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_5_4", "context": "在极端高温和高密度环境下，原子核的反应达到动态平衡，各种核素的丰度不再随时间变化，仅由温度、密度和系统的化学组成决定。原子核的无规则热运动的动能远小于其静止能量，可视为非相对论粒子。粒子的数密度在动量空间的分布遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布 $f(p) = \\frac{1}{h^{3}} \\exp\\left[\\frac{\\mu-E(p)}{k_{B}T}\\right]$，这里 $h$ 是普朗克常量，$k_B$ 是玻尔兹曼常量，$\\mu$ 是粒子的化学势，$E(p)$是动量为 $p$ 的粒子的能量。不考虑粒子的自旋。已知光子的化学势为零。当某一反应达到平衡时候，反应物的总化学势与生成物的总化学势相等。光在真空中的速度为 $c$.\n（1）原子核的静止质量为 $m$，当温度为 $T$、原子核的数密度为 $n$ 时，求原子核的化学势 $\\mu$。\n（2）温度为 $T$ 时，原子核 X 的光致分解与合成反应达到动态平衡 ${}_{Z}^{A}X + \\gamma \\rightleftharpoons Zp + Nn$ 这里 $\\gamma$、$p$、$n$ 分别表示光子、质子、中子，$Z$ 是核素的原子序数或者质子数，$N$ 是中子数，$A = Z + N $是质量数。求此时原子核的数密度与质子的数密度、中子的数密度之间的关系。原子核X的质量和总结合能分别为 $m_{X}$ 和 $B_{X}$.\n（3）温度为 $T$ 时，氘核 ${}_{1}^{2} H \\equiv D$ 的光致分解与合成反应达到动态平衡 $D + \\gamma \\rightleftharpoons p + n$，求此时粒子数密度之比 $\\frac{n_{D}}{n_{p} n_{n}}$ 的表达式，其中 $n_{a}$ 是粒子a的数密度（a=D,p,n）。氘核的质量和结合能分别为 $m_{D}$ 和 $B_{D}$.", "question": "当宇宙的温度高于 $0.8 MeV / k_{B}$（相当于 $9.3 \\times 10^{9} K$）时，宇宙中的质子和中子能通过热碰撞而相互转化，相应的两个核反应过程为 $n + v_{e} \\rightleftharpoons p + e^{-}$，$n + e^{+} \\rightleftharpoons p + \\overline{v_{e}}$，其中 $e^{-}$、$e^{+}$ 分别代表电子、正电子，$v_{e}$、$\\overline{v_{e}}$ 分别代表电子型中微子及其反粒子。高温时，正反中微子对和正反电子对不断大量产生、湮灭，它们的化学势为零;以上质子和中子的相互转化过程将很快达到动态平衡，求此状态下的中子数密度 $n_{n}$ 和质子数密度 $n_{p}$ 之比的表达式。当宇宙温度低于 $0.8 MeV / k_{B}$ 时，以上质子和中子之间的转换很快停止（冻结），它们的数密度之比不再随温度变化，求冻结状态下的中子数密度和质子数密度的比值。", "marking": [ [ "如果解答正确写出弱相互作用平衡的化学势关系：\\(\\mu_n + \\mu_{\\nu} = \\mu_p + \\mu_{e^-}\\)，\\(\\mu_n + \\mu_{e^+} = \\mu_p + \\mu_{\\bar{\\nu}}\\)，则得 3 分；否则得 0 分。说明：\\(\\mu_{\\nu}, \\mu_{\\bar{\\nu}}, \\mu_{e^-}, \\mu_{e^+}\\) 分别为中微子、反中微子、电子、正电子的化学势。", "如果解答正确根据题设指出 \\(\\mu_{\\nu} = \\mu_{\\bar{\\nu}} = \\mu_{e^-} = \\mu_{e^+} = 0\\) 并推出 \\(\\mu_n = \\mu_p\\)，则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确在非相对论极限下得到数密度之比：\\(\\dfrac{n_n}{n_p} = \\left( \\dfrac{m_n}{m_p} \\right)^{3/2} \\exp\\!\\left( -\\dfrac{(m_n - m_p) c^2}{k_B T} \\right)\\)，则得 3 分；否则得 0 分。说明：\\(n_n, n_p\\) 分别为中子与质子的数密度。", "如果解答正确在冻结温度 \\(k_B T = 0.8\\,\\mathrm{MeV}\\) 代入 \\(m_n \\approx 939.565\\,\\mathrm{MeV}/c^2\\)、\\(m_p \\approx 938.272\\,\\mathrm{MeV}/c^2\\) 并计算 \\(\\dfrac{n_n}{n_p} \\approx \\left( \\dfrac{939.565}{938.272} \\right)^{3/2} \\exp\\!\\left( -\\dfrac{939.565 - 938.272}{0.8} \\right) \\approx 0.2\\)，则得 3 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{0.2}" ], "answer_type": [ "Numerical Value" ], "unit": [ null ], "points": [ 10.0 ], "modality": "text-only", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_5_5", "context": "在极端高温和高密度环境下，原子核的反应达到动态平衡，各种核素的丰度不再随时间变化，仅由温度、密度和系统的化学组成决定。原子核的无规则热运动的动能远小于其静止能量，可视为非相对论粒子。粒子的数密度在动量空间的分布遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布 $f(p) = \\frac{1}{h^{3}} \\exp\\left[\\frac{\\mu-E(p)}{k_{B}T}\\right]$，这里 $h$ 是普朗克常量，$k_B$ 是玻尔兹曼常量，$\\mu$ 是粒子的化学势，$E(p)$是动量为 $p$ 的粒子的能量。不考虑粒子的自旋。已知光子的化学势为零。当某一反应达到平衡时候，反应物的总化学势与生成物的总化学势相等。光在真空中的速度为 $c$.\n（1）原子核的静止质量为 $m$，当温度为 $T$、原子核的数密度为 $n$ 时，求原子核的化学势 $\\mu$。\n（2）温度为 $T$ 时，原子核 X 的光致分解与合成反应达到动态平衡 ${}_{Z}^{A}X + \\gamma \\rightleftharpoons Zp + Nn$ 这里 $\\gamma$、$p$、$n$ 分别表示光子、质子、中子，$Z$ 是核素的原子序数或者质子数，$N$ 是中子数，$A = Z + N $是质量数。求此时原子核的数密度与质子的数密度、中子的数密度之间的关系。原子核X的质量和总结合能分别为 $m_{X}$ 和 $B_{X}$.\n（3）温度为 $T$ 时，氘核 ${}_{1}^{2} H \\equiv D$ 的光致分解与合成反应达到动态平衡 $D + \\gamma \\rightleftharpoons p + n$，求此时粒子数密度之比 $\\frac{n_{D}}{n_{p} n_{n}}$ 的表达式，其中 $n_{a}$ 是粒子a的数密度（a=D,p,n）。氘核的质量和结合能分别为 $m_{D}$ 和 $B_{D}$.\n（4）当宇宙的温度高于 $0.8 MeV / k_{B}$（相当于 $9.3 \\times 10^{9} K$）时，宇宙中的质子和中子能通过热碰撞而相互转化，相应的两个核反应过程为 $n + v_{e} \\rightleftharpoons p + e^{-}$，$n + e^{+} \\rightleftharpoons p + \\overline{v_{e}}$，其中 $e^{-}$、$e^{+}$ 分别代表电子、正电子，$v_{e}$、$\\overline{v_{e}}$ 分别代表电子型中微子及其反粒子。高温时，正反中微子对和正反电子对不断大量产生、湮灭，它们的化学势为零;以上质子和中子的相互转化过程将很快达到动态平衡，求此状态下的中子数密度 $n_{n}$ 和质子数密度 $n_{p}$ 之比的表达式。当宇宙温度低于 $0.8 MeV / k_{B}$ 时，以上质子和中子之间的转换很快停止（冻结），它们的数密度之比不再随温度变化，求冻结状态下的中子数密度和质子数密度的比值。", "question": "当宇宙的温度进一步降低时，中子和质子开始结合，通过一系列核反应最终形成稳定的氦核 ${}_{2}^{4} He$，假设所有的中子都被结合到氦核中（不计中子的衰变），试估算氦核的质量丰度（氦核占全部原子核质量的比例）。\n已知质子和中子的质量分别为 $m_{p} = 938.272 MeV / c^{2}$，$m_{n} = 939.565 MeV / c^{2}$；积分公式 $\\int_{0}^{+\\infty} e^{-a x^{2}} d x = \\frac{1}{2} \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}, a > 0$.", "marking": [ [ "如果解答正确指出氦核包含所有中子，得出数密度关系 \\(n_{\\mathrm{He}} = \\tfrac{1}{2}\\, n_n\\)，则得 2 分；否则得 0 分。说明：每个 \\(^4\\!\\mathrm{He}\\) 含 2 个质子和 2 个中子。", "如果解答正确给出氦的质量丰度：\\(Y_{\\mathrm{He}} = \\dfrac{4 n_{\\mathrm{He}}}{n_n + n_p} = \\dfrac{2 n_n}{n_n + n_p} = \\dfrac{2}{1 + n_p/n_n} \\approx 0.3\\)（用上一步 \\(n_n/n_p \\approx 0.2\\)），则得 4 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{0.3}" ], "answer_type": [ "Numerical Value" ], "unit": [ null ], "points": [ 6.0 ], "modality": "text-only", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_6_1", "context": "热辐射是电磁波, 电磁波具有动量, 物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用。在讨论小行星运行运动时, 辐射力的作用通常是敏感的。由于小行星的自转和有限热传导率，辐射作用力可改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论: 假设小行星和太阳星体均为球状理想黑体, 辐射能流密度$J$服从斯特凡-玻尔兹曼定律, $J = \\sigma T^4 n$, 其中$T$为黑体的表面温度, $n$是辐射表面的外法向单位矢量, $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{W}/(\\text{m}^2 \\text{K}^4)$; 小行星绕太阳做圆周运动, 轨道半径为$R_a$, 小行星自转角速度大小为$\\omega$, 自转轴和公转轴相互平行, 公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为 $r_a$，密度为 $\\rho$，比热容为 $C$，热导率为$\\kappa$。已知太阳的表面温度$T_S = 6000 \\text{K}$、半径$r_S = 7 \\times 10^8 \\text{m}$、质量 $M_S = 2 \\times 10^{30} \\text{kg}$，$r_a \\ll r_S \\ll R_a$；引力常数 $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{m}^3/(\\text{kg} \\cdot \\text{s}^2)$, 真空中的光速 $c = 3.0 \\times 10^8 \\text{m}/\\text{s}$。", "question": "假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面, 证明该黑体表面单位面积因吸收辐射而受到的辐射力 $F_r$ 和辐射能流密度 $J_r$ 的关系为 $F_r = J_r/c$。", "marking": [ [ "如果解答正确答出光子能量与动量的关系：\\(E = c\\,p\\)。其中 \\(E\\) 为单个光子的能量，\\(p\\) 为其动量大小，\\(c\\) 为真空光速。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确答出能流密度与动量通量的关系：\\(\\mathbf{J}_r = n c E \\,\\hat{\\mathbf{p}} = n c (c p)\\,\\hat{\\mathbf{p}} = c (n c p\\,\\hat{\\mathbf{p}}) = c\\,\\mathbf{P}\\)。其中 \\(n\\) 为光子数密度，\\(\\hat{\\mathbf{p}}\\) 为动量方向单位矢量，\\(\\mathbf{J}_r\\) 为电磁辐射能流密度矢量，\\(\\mathbf{P}\\) 为单位时间穿过单位面积的光子总动量（动量通量）矢量。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确答出黑体完全吸收时辐射压与能流密度的关系：\\(F_r = P = J_r / c\\)（此处 \\(P = |\\mathbf{P}|\\)，\\(J_r = |\\mathbf{J}_r|\\)）。则得 1 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$F_r = \\frac{J_r}{c}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 3.0 ], "modality": "text-only", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_6_2", "context": "热辐射是电磁波, 电磁波具有动量, 物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用。在讨论小行星运行运动时, 辐射力的作用通常是敏感的。由于小行星的自转和有限热传导率，辐射作用力可改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论: 假设小行星和太阳星体均为球状理想黑体, 辐射能流密度$J$服从斯特凡-玻尔兹曼定律, $J = \\sigma T^4 n$, 其中$T$为黑体的表面温度, $n$是辐射表面的外法向单位矢量, $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{W}/(\\text{m}^2 \\text{K}^4)$; 小行星绕太阳做圆周运动, 轨道半径为$R_a$, 小行星自转角速度大小为$\\omega$, 自转轴和公转轴相互平行, 公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为 $r_a$，密度为 $\\rho$，比热容为 $C$，热导率为$\\kappa$。已知太阳的表面温度$T_S = 6000 \\text{K}$、半径$r_S = 7 \\times 10^8 \\text{m}$、质量 $M_S = 2 \\times 10^{30} \\text{kg}$，$r_a \\ll r_S \\ll R_a$；引力常数 $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{m}^3/(\\text{kg} \\cdot \\text{s}^2)$, 真空中的光速 $c = 3.0 \\times 10^8 \\text{m}/\\text{s}$。\n（1）假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面, 证明该黑体表面单位面积因吸收辐射而受到的辐射力 $F_r$ 和辐射能流密度 $J_r$ 的关系为 $F_r = J_r/c$。", "question": "假设小行星表面温度始终保持均匀恒定，（1）求其表面处接收的太阳辐射能流密度 $J_0$ 与轨道半径 $R_a$ 的关系，（2）求其表面温度 $T_0$ 与轨道半径 $R_a$ 的关系；（3）估算辐射作用力对典型小行星的运行轨道半径的相对改变量，假设典型小行星的半径为 $10^3 \\text{m}$、密度为$5 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$。", "marking": [ [ "如果解答正确答出小行星轨道处单位面积的直射能流密度：\\(J_0 = \\sigma T_s^4\\,\\dfrac{r_s^2}{R_a^2}\\)。其中 \\(\\sigma\\) 为斯忒藩–玻尔兹曼常数，\\(T_s\\) 为太阳表面有效温度，\\(r_s\\) 为太阳半径，\\(R_a\\) 为小行星轨道半径。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确答出小行星单位时间接收的太阳辐射功率：\\(\\dot E_i = \\pi r_a^2 J_0\\)。其中 \\(r_a\\) 为小行星半径。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确答出小行星温度为 \\(T_0\\) 时单位时间本征辐射功率：\\(\\dot E_0 = 4\\pi r_a^2 \\sigma T_0^4\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确由平衡 \\(\\dot E_i = \\dot E_0\\) 得到平均温度：\\(T_0 = \\left(\\dfrac{J_0}{4\\sigma}\\right)^{1/4} = \\left(\\dfrac{T_s^4 r_s^2}{4 R_a^2}\\right)^{1/4} = \\sqrt{\\dfrac{r_s}{2R_a}}\\,T_s\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确答出太阳辐射压导致的径向推力：\\(\\mathbf{F}_{sa} = \\dfrac{\\pi r_a^2 J_0}{c}\\,\\hat{\\mathbf{R}}_a = \\dfrac{\\pi r_a^2\\sigma T_s^4 r_s^2}{c R_a^2}\\,\\hat{\\mathbf{R}}_a\\)。其中 \\(\\hat{\\mathbf{R}}_a\\) 为从太阳指向小行星的径向单位矢量。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确把辐射压并入等效“引力常量”形式，写出合力：\\(F = \\dfrac{G M_s M_a}{R_a^2} - \\dfrac{\\pi r_a^2\\sigma T_s^4 r_s^2}{c R_a^2} = \\dfrac{4\\pi G M_s \\rho_a r_a^3}{3 R_a^2} - \\dfrac{\\pi r_a^2\\sigma T_s^4 r_s^2}{c R_a^2} = \\dfrac{G M_s' M_a}{R_a^2}\\)。其中 \\(M_a = \\dfrac{4}{3}\\pi \\rho_a r_a^3\\) 为小行星质量，\\(\\rho_a\\) 为其密度，\\(M_s' = M_s - \\dfrac{3\\sigma T_s^4 r_s^2}{4 c G \\rho_a r_a}\\) 为辐射修正后的等效太阳质量。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确给出不考虑辐射时圆轨道条件：\\(\\dfrac{M_a v_a^2}{R_a} = \\dfrac{G M_s M_a}{R_a^2}\\Rightarrow R_a = \\dfrac{G M_s}{v_a^2}\\)。其中 \\(v_a\\) 为轨道速度。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确给出考虑辐射前后半径的相对改变量：\\(\\dfrac{\\Delta R_a}{R_a} = \\dfrac{R_a' - R_a}{R_a} = \\dfrac{M_s' - M_s}{M_s} = -\\dfrac{3\\sigma T_s^4 r_s^2}{4 c G \\rho_a r_a M_s}\\)。则得 1 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$J_0 = \\sigma T_s^4 \\frac{r_s^2}{R_a^2}$}", "\\boxed{$T_0 = \\sqrt{\\frac{r_s}{2R_a}} T_s$}", "\\boxed{$−1.3 \\times 10^{−10}$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression", "Numerical Value" ], "unit": [ null, null, null ], "points": [ 1.0, 1.0, 6.0 ], "modality": "text-only", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_6_3", "context": "热辐射是电磁波, 电磁波具有动量, 物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用。在讨论小行星运行运动时, 辐射力的作用通常是敏感的。由于小行星的自转和有限热传导率，辐射作用力可改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论: 假设小行星和太阳星体均为球状理想黑体, 辐射能流密度$J$服从斯特凡-玻尔兹曼定律, $J = \\sigma T^4 n$, 其中$T$为黑体的表面温度, $n$是辐射表面的外法向单位矢量, $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{W}/(\\text{m}^2 \\text{K}^4)$; 小行星绕太阳做圆周运动, 轨道半径为$R_a$, 小行星自转角速度大小为$\\omega$, 自转轴和公转轴相互平行, 公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为 $r_a$，密度为 $\\rho$，比热容为 $C$，热导率为$\\kappa$。已知太阳的表面温度$T_S = 6000 \\text{K}$、半径$r_S = 7 \\times 10^8 \\text{m}$、质量 $M_S = 2 \\times 10^{30} \\text{kg}$，$r_a \\ll r_S \\ll R_a$；引力常数 $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{m}^3/(\\text{kg} \\cdot \\text{s}^2)$, 真空中的光速 $c = 3.0 \\times 10^8 \\text{m}/\\text{s}$。\n（1）假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面, 证明该黑体表面单位面积因吸收辐射而受到的辐射力 $F_r$ 和辐射能流密度 $J_r$ 的关系为 $F_r = J_r/c$。\n（2）假设小行星表面温度始终保持均匀恒定，求其表面处接收的太阳辐射能流密度 $J_0$，表面温度 $T_0$ 分别与轨道半径 $R_a$ 的关系；估算辐射作用力对典型小行星的运行轨道半径的相对改变量，假设典型小行星的半径为 $10^3 \\text{m}$、密度为$5 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$。\n\n[figure1] \n图 6a", "question": "由于自转, 小行星表面任意给定位置单位面积接收太阳辐射的功率随时间周期性地改变, 该位置的温度也相应地随时间改变, 但二者的改变并不同步, 后者会滞后于前者一个相位, 这是因有限的比热容和热传导率导致的. 对于典型的小行星, 热传导主要发生在垂直于小行星表面的方向上, 并局限在厚度较小的表层内, 可用一维热传导模型来研究这个滞后相位的大小. 先考虑小行星赤道上的情况: 如图 6a 所示, 赤道上经度为 $\\varphi$ 处单位表面接收的太阳辐射功率 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 随时间 $t$ 周期性地变化, 当 $t=0$ 时, 经度 $\\varphi = 0$ 正对太阳, 自转方向为经度 $\\varphi$ 增加的方向, 假设 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 可表示为 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi) = \\frac{J_0}{4} + \\alpha J_0 \\cos (\\omega t + \\varphi)$, 其中 $\\alpha$ 为常数。$t$ 时刻小行星内部与表面距离为 $x$ ($x \\ge 0$) 处的温度 $T(t, x, \\varphi)$ 满足热传导方程 $\\rho C \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial t} = \\kappa \\frac{\\partial^2 T(t, x, \\varphi)}{\\partial x^2}$。在表面 ($x = 0$) 处满足能流守恒方程 $-\\kappa \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial x}\\Biggr|_{x=0} + J_{\\text{out}}(t, \\varphi) = J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$, 其中$J_{\\text{out}}(t, \\varphi)$ 为此处表面向外辐射的能流密度。已知热传导方程的解具有下列形式 $T(t, x, \\varphi) = T_0 + T_1 e^{-\\gamma x} \\cos (\\omega t - \\beta x + \\varphi - \\delta)$。假设$T_1 \\ll T_0$, 求：（1） $T_1$ 的表达式，（2）$\\gamma$ 的表达式，（3）$\\beta$ 的表达式，（4）表面温度的滞后相位 $\\delta$。", "marking": [ [ "如果解答正确从热传导方程 \\(C\\rho\\,\\dfrac{\\partial T}{\\partial t} = \\kappa\\,\\dfrac{\\partial^2 T}{\\partial x^2}\\) 取试探解 \\(T = T_0 + T_1 e^{-\\tilde\\gamma x + i(\\omega t + \\varphi - \\delta)}\\) 并得到：\\(i\\omega T_1 e^{-\\tilde\\gamma x + i(\\omega t + \\varphi - \\delta)} = \\dfrac{\\kappa\\tilde\\gamma^2}{C\\rho}\\,T_1 e^{-\\tilde\\gamma x + i(\\omega t + \\varphi - \\delta)}\\)。其中 \\(\\kappa\\) 为热导率、\\(C\\rho\\) 为体积热容、\\(\\tilde\\gamma=\\gamma+i\\beta\\)、\\(x\\) 为深度、\\(\\omega\\) 为角频率、\\(\\varphi\\) 为入射相位、\\(\\delta\\) 为热滞后角。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确取物理解（\\(\\gamma\\ge 0\\)），写出：\\(\\tilde\\gamma = \\gamma + i\\beta = \\sqrt{\\dfrac{i C\\rho\\omega}{\\kappa}} = \\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega}{2\\kappa}} + i\\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega}{2\\kappa}}\\)，从而 \\(\\gamma = \\beta = \\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega}{2\\kappa}}\\)。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确在表面写出能流守恒：\\(\\tilde\\gamma\\kappa T_1 e^{i\\omega t + i\\varphi - i\\delta} + \\sigma\\bigl(T_0 + T_1 e^{i\\omega t + i\\varphi - i\\delta}\\bigr)^4 = \\dfrac{J_0}{4} + \\alpha J_0 e^{i\\omega t + i\\varphi}\\)。其中 \\(\\alpha\\) 为入射光相对幅度系数。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确线性化保留 \\(T_1\\) 一次项：\\(\\sigma T_0^4 + (\\tilde\\gamma\\kappa + 4\\sigma T_0^3) T_1 e^{i\\omega t + i\\varphi - i\\delta} = \\dfrac{J_0}{4} + \\alpha J_0 e^{i\\omega t + i\\varphi}\\)。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确得到：\\((4\\sigma T_0^3 + \\tilde\\gamma\\kappa) T_1 e^{i\\omega t + i\\varphi - i\\delta} = \\alpha J_0 e^{i\\omega t + i\\varphi}\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确解得复幅度：\\(T_1 e^{-i\\delta} = \\dfrac{\\alpha J_0}{4\\sigma T_0^3 + \\tilde\\gamma\\kappa} = \\dfrac{\\alpha J_0}{4\\sigma T_0^3 + \\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega\\kappa}{2}} + i\\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega\\kappa}{2}}}\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确写出幅值：\\(T_1 = \\dfrac{\\alpha J_0}{4\\sigma T_0^3\\\\sqrt{1 + 2\\Phi + 2\\Phi^2}}\\)。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确定义无量纲参数：\\(\\Phi = \\dfrac{\\sqrt{2 C\\rho\\omega\\kappa}}{8\\sigma T_0^3}\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确给出相位滞后：\\(\\tan\\delta = \\dfrac{\\Phi}{1 + \\Phi}\\)。则得 1 分；否则得 0 分。" ], [ "如果解答正确将 \\(T = T_0 + T_1 e^{-\\gamma x}\\cos(\\omega t + \\varphi - \\beta x - \\delta)\\) 直接代入热传导方程 \\(\\rho C\\,\\frac{\\partial T}{\\partial t} = \\kappa\\,\\frac{\\partial^2 T}{\\partial x^2}\\)，并整理得到：\\( \\frac{\\kappa}{\\rho C}(\\gamma^2-\\beta^2)\\cos(\\omega t + \\varphi - \\beta x - \\delta) + \\left(\\omega - \\frac{2\\gamma\\beta\\kappa}{\\rho C}\\right)\\sin(\\omega t + \\varphi - \\beta x - \\delta) = 0 \\)。其中 \\(\\gamma\\) 为衰减常数、\\(\\beta\\) 为相位随深度变化率；若写成等价的中间式 \\(-\\omega e^{-\\gamma x}\\sin(\\cdots) = \\frac{\\kappa}{\\rho C} e^{-\\gamma x}[(\\gamma^2-\\beta^2)\\cos(\\cdots) - 2\\gamma\\beta\\sin(\\cdots)]\\) 亦给分。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确由 \\(C\\rho\\,\\partial T/\\partial t = \\kappa\\,\\partial^2 T/\\partial x^2\\) 取 \\(T = T_0 + T_1 e^{-\\gamma x}\\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta)\\) 并得到 \\(\\gamma = \\beta = \\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega}{2\\kappa}}\\)。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确在表面写出能流守恒并展开：\\(\\kappa T_1\\,[\\gamma\\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta) - \\beta\\sin(\\omega t + \\varphi - \\delta)] + \\sigma [T_0 + T_1\\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta)]^4 = \\dfrac{J_0}{4} + \\alpha J_0 \\cos(\\omega t + \\varphi)\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确保留 \\(T_1\\) 一次项得到：\\(\\sigma T_0^4 + [(\\kappa\\gamma + 4\\sigma T_0^3)\\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta) - \\kappa\\gamma\\sin(\\omega t + \\varphi - \\delta)]T_1 = \\dfrac{J_0}{4} + \\alpha J_0\\cos(\\omega t + \\varphi)\\)。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确给出交变项方程：\\([(\\kappa\\gamma + 4\\sigma T_0^3)\\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta) - \\kappa\\gamma\\sin(\\omega t + \\varphi - \\delta)]T_1 = \\alpha J_0\\cos(\\omega t + \\varphi)\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确整理为同相形式并指出需取 \\(\\delta' = \\delta\\)，得到：\\(4\\sqrt{1 + 2\\Phi + 2\\Phi^2}\\,\\sigma T_0^3 T_1 \\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta + \\delta') = \\alpha J_0\\cos(\\omega t + \\varphi)\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确写出幅值：\\(T_1 = \\dfrac{\\alpha J_0}{4\\sigma T_0^3\\\\sqrt{1 + 2\\Phi + 2\\Phi^2}}\\)。则得 2 分；否则得 0 分。", "如果解答正确给出 \\(\\Phi = \\dfrac{\\kappa\\gamma}{4\\sigma T_0^3} = \\dfrac{\\sqrt{2 C\\rho\\omega\\kappa}}{8\\sigma T_0^3}\\)。则得 1 分；否则得 0 分。", "如果解答正确给出相位滞后：\\(\\tan\\delta = \\dfrac{\\Phi}{1 + \\Phi}\\)。则得 1 分；否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$T_1 = \\dfrac{\\alpha J_0}{4\\sigma T_0^3 \\sqrt{1 + 2\\Phi + 2\\Phi^2}}$}", "\\boxed{$\\gamma = \\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega}{2\\kappa}}}$", "\\boxed{$\\beta = = \\sqrt{\\dfrac{C\\rho\\omega}{2\\kappa}}}$}", "\\boxed{$\\delta = \\arctan \\dfrac{\\Phi}{1 + \\Phi}$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression", "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null, null, null ], "points": [ 7.0, 2.0, 2.0, 2.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_6_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_6_4", "context": "热辐射是电磁波, 电磁波具有动量, 物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用。在讨论小行星运行运动时, 辐射力的作用通常是敏感的。由于小行星的自转和有限热传导率，辐射作用力可改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论: 假设小行星和太阳星体均为球状理想黑体, 辐射能流密度$J$服从斯特凡-玻尔兹曼定律, $J = \\sigma T^4 n$, 其中$T$为黑体的表面温度, $n$是辐射表面的外法向单位矢量, $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{W}/(\\text{m}^2 \\text{K}^4)$; 小行星绕太阳做圆周运动, 轨道半径为$R_a$, 小行星自转角速度大小为$\\omega$, 自转轴和公转轴相互平行, 公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为 $r_a$，密度为 $\\rho$，比热容为 $C$，热导率为$\\kappa$。已知太阳的表面温度$T_S = 6000 \\text{K}$、半径$r_S = 7 \\times 10^8 \\text{m}$、质量 $M_S = 2 \\times 10^{30} \\text{kg}$，$r_a \\ll r_S \\ll R_a$；引力常数 $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{m}^3/(\\text{kg} \\cdot \\text{s}^2)$, 真空中的光速 $c = 3.0 \\times 10^8 \\text{m}/\\text{s}$。\n（1）假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面, 证明该黑体表面单位面积因吸收辐射而受到的辐射力 $F_r$ 和辐射能流密度 $J_r$ 的关系为 $F_r = J_r/c$。\n（2）假设小行星表面温度始终保持均匀恒定，求其表面处接收的太阳辐射能流密度 $J_0$，表面温度 $T_0$ 分别与轨道半径 $R_a$ 的关系；估算辐射作用力对典型小行星的运行轨道半径的相对改变量，假设典型小行星的半径为 $10^3 \\text{m}$、密度为$5 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$。\n\n[figure1] \n图 6a \n（3）由于自转, 小行星表面任意给定位置单位面积接收太阳辐射的功率随时间周期性地改变, 该位置的温度也相应地随时间改变, 但二者的改变并不同步, 后者会滞后于前者一个相位, 这是因有限的比热容和热传导率导致的. 对于典型的小行星, 热传导主要发生在垂直于小行星表面的方向上, 并局限在厚度较小的表层内, 可用一维热传导模型来研究这个滞后相位的大小. 先考虑小行星赤道上的情况: 如图 6a 所示, 赤道上经度为 $\\varphi$ 处单位表面接收的太阳辐射功率 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 随时间 $t$ 周期性地变化, 当 $t=0$ 时, 经度 $\\varphi = 0$ 正对太阳, 自转方向为经度 $\\varphi$ 增加的方向, 假设 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 可表示为 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi) = \\frac{J_0}{4} + \\alpha J_0 \\cos (\\omega t + \\varphi)$, 其中 $\\alpha$ 为常数。$t$ 时刻小行星内部与表面距离为 $x$ ($x \\ge 0$) 处的温度 $T(t, x, \\varphi)$ 满足热传导方程 $\\rho C \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial t} = \\kappa \\frac{\\partial^2 T(t, x, \\varphi)}{\\partial x^2}$。在表面 ($x = 0$) 处满足能流守恒方程 $-\\kappa \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial x}\\Biggr|_{x=0} + J_{\\text{out}}(t, \\varphi) = J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$, 其中$J_{\\text{out}}(t, \\varphi)$ 为此处表面向外辐射的能流密度。已知热传导方程的解具有下列形式 $T(t, x, \\varphi) = T_0 + T_1 e^{-\\gamma x} \\cos (\\omega t - \\beta x + \\varphi - \\delta)$。假设$T_1 \\ll T_0$, 求 $T_1$, $\\gamma$，$\\beta$ 的表达式以及表面温度的滞后相位 $\\delta$。", "question": "利用第 (3) 问的结果, （1）计算同一时刻小行星赤道上不同经度 $\\varphi$ 处由于向外辐射, 单位面积所受到的力 $\\mathbf{F}(\\varphi)$，（2）并求整个赤道上单位面积所受到的平均辐射力 $\\bar{\\mathbf{F}}$.", "marking": [ [ "如果解答正确写出经度 \\varphi 处表面外法向单位矢量 \\hat{\\mathbf{n}}_{\\varphi} = (-\\cos(\\omega t + \\varphi), -\\sin(\\omega t + \\varphi), 0)，则得 2 分。否则得 0 分。（\\omega 为自转角速度）", "如果解答正确给出温度分布 T=T_0+T_1\\cos(\\omega t+\\varphi-\\delta)，并据此正确推导出 \\mathbf{F}(\\varphi) = -\\frac{\\sigma T_0^4}{c} \\hat{\\mathbf{n}}_{\\varphi} - \\frac{\\alpha J_0}{c\\sqrt{1+2\\Phi+2\\Phi^2}} \\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta) \\hat{\\mathbf{n}}_{\\varphi}，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确 \\bar{\\mathbf{F}} = \\frac{\\alpha J_0}{2c\\sqrt{1+2\\Phi+2\\Phi^2}}\\,(\\cos\\delta,\\,\\sin\\delta)，则得 2 分。否则得 0 分。（\\alpha 为吸收率，J_0=\\sigma T_s^4\\tfrac{r_s^2}{R_a^2}）" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\mathbf{F}(\\varphi) = -\\frac{\\sigma T_0^4}{c} \\hat{\\mathbf{n}}_{\\varphi} - \\frac{\\alpha J_0}{c\\sqrt{1+2\\Phi+2\\Phi^2}} \\cos(\\omega t + \\varphi - \\delta) \\hat{\\mathbf{n}}_{\\varphi}$}", "\\boxed{$\\bar{\\mathbf{F}} = \\frac{\\alpha J_0}{2c\\sqrt{1+2\\Phi+2\\Phi^2}} (\\cos\\delta, \\sin\\delta)$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 4.0, 2.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_6_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_6_5", "context": "热辐射是电磁波, 电磁波具有动量, 物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用。在讨论小行星运行运动时, 辐射力的作用通常是敏感的。由于小行星的自转和有限热传导率，辐射作用力可改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论: 假设小行星和太阳星体均为球状理想黑体, 辐射能流密度$J$服从斯特凡-玻尔兹曼定律, $J = \\sigma T^4 n$, 其中$T$为黑体的表面温度, $n$是辐射表面的外法向单位矢量, $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{W}/(\\text{m}^2 \\text{K}^4)$; 小行星绕太阳做圆周运动, 轨道半径为$R_a$, 小行星自转角速度大小为$\\omega$, 自转轴和公转轴相互平行, 公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为 $r_a$，密度为 $\\rho$，比热容为 $C$，热导率为$\\kappa$。已知太阳的表面温度$T_S = 6000 \\text{K}$、半径$r_S = 7 \\times 10^8 \\text{m}$、质量 $M_S = 2 \\times 10^{30} \\text{kg}$，$r_a \\ll r_S \\ll R_a$；引力常数 $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{m}^3/(\\text{kg} \\cdot \\text{s}^2)$, 真空中的光速 $c = 3.0 \\times 10^8 \\text{m}/\\text{s}$。\n（1）假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面, 证明该黑体表面单位面积因吸收辐射而受到的辐射力 $F_r$ 和辐射能流密度 $J_r$ 的关系为 $F_r = J_r/c$。\n（2）假设小行星表面温度始终保持均匀恒定，求其表面处接收的太阳辐射能流密度 $J_0$，表面温度 $T_0$ 分别与轨道半径 $R_a$ 的关系；估算辐射作用力对典型小行星的运行轨道半径的相对改变量，假设典型小行星的半径为 $10^3 \\text{m}$、密度为$5 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$。\n\n[figure1] \n图 6a \n（3）由于自转, 小行星表面任意给定位置单位面积接收太阳辐射的功率随时间周期性地改变, 该位置的温度也相应地随时间改变, 但二者的改变并不同步, 后者会滞后于前者一个相位, 这是因有限的比热容和热传导率导致的. 对于典型的小行星, 热传导主要发生在垂直于小行星表面的方向上, 并局限在厚度较小的表层内, 可用一维热传导模型来研究这个滞后相位的大小. 先考虑小行星赤道上的情况: 如图 6a 所示, 赤道上经度为 $\\varphi$ 处单位表面接收的太阳辐射功率 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 随时间 $t$ 周期性地变化, 当 $t=0$ 时, 经度 $\\varphi = 0$ 正对太阳, 自转方向为经度 $\\varphi$ 增加的方向, 假设 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 可表示为 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi) = \\frac{J_0}{4} + \\alpha J_0 \\cos (\\omega t + \\varphi)$, 其中 $\\alpha$ 为常数。$t$ 时刻小行星内部与表面距离为 $x$ ($x \\ge 0$) 处的温度 $T(t, x, \\varphi)$ 满足热传导方程 $\\rho C \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial t} = \\kappa \\frac{\\partial^2 T(t, x, \\varphi)}{\\partial x^2}$。在表面 ($x = 0$) 处满足能流守恒方程 $-\\kappa \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial x}\\Biggr|_{x=0} + J_{\\text{out}}(t, \\varphi) = J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$, 其中$J_{\\text{out}}(t, \\varphi)$ 为此处表面向外辐射的能流密度。已知热传导方程的解具有下列形式 $T(t, x, \\varphi) = T_0 + T_1 e^{-\\gamma x} \\cos (\\omega t - \\beta x + \\varphi - \\delta)$。假设$T_1 \\ll T_0$, 求 $T_1$, $\\gamma$，$\\beta$ 的表达式以及表面温度的滞后相位 $\\delta$。\n（4）利用第 (3) 问的结果, 计算同一时刻小行星赤道上不同经度 $\\varphi$ 处由于向外辐射, 单位面积所受到的力 $\\mathbf{F}(\\varphi)$，并求整个赤道上单位面积所受到的平均辐射力 $\\bar{\\mathbf{F}}$.", "question": "整个小行星由于向外辐射所受到的力是 $\\lambda S \\bar{\\mathbf{F}}$，其中 $S$ 为小行星的表面积，$\\lambda$ 为数量级为$1$的常数。求由于小行星向外辐射所导致的轨道运动方向上的加速度 $a$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出三角恒等式并给出 \\sin\\delta=\\tfrac{1}{\\sqrt{1+\\tan^{-2}\\delta}}=\\tfrac{\\Phi}{\\sqrt{1+2\\Phi+2\\Phi^2}}，则得 2 分。否则得 0 分。（\\Phi 为热参数）", "如果解答正确写出合力的切向分量（沿轨道方向） \\mathbf{F}_\\text{tan}=4\\lambda\\pi r_a^2\\,\\Big(\\tfrac{\\alpha\\J_0}{2c\\sqrt{1+2\\Phi+2\\Phi^2}}\\Big)\\sin\\delta=\\tfrac{2\\alpha\\lambda\\pi r_a^2\\sigma T_s^4 r_s^2}{cR_a^2}\\,\\tfrac{\\Phi}{1+2\\Phi+2\\Phi^2}，则得 2 分。否则得 0 分。（\\lambda 为赤道带占比）", "如果解答正确由 m_a=\\tfrac{4\\pi r_a^3\\rho}{3} 得到切向加速度 a=\\tfrac{\\mathbf{F}_\\text{tan}}{m_a}=\\tfrac{3\\alpha\\lambda\\,\\sigma T_s^4 r_s^2}{2c\\,r_a\\rho\\,R_a^2}\\,\\tfrac{\\Phi}{1+2\\Phi+2\\Phi^2}，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$a = \\frac{3\\alpha\\lambda \\sigma T_s^4 r_s^2}{2c r_a \\rho R_a^2} \\frac{\\Phi}{1 + 2\\Phi + 2\\Phi^2}$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 6.0 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_6_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_6_6", "context": "热辐射是电磁波, 电磁波具有动量, 物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用。在讨论小行星运行运动时, 辐射力的作用通常是敏感的。由于小行星的自转和有限热传导率，辐射作用力可改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论: 假设小行星和太阳星体均为球状理想黑体, 辐射能流密度$J$服从斯特凡-玻尔兹曼定律, $J = \\sigma T^4 n$, 其中$T$为黑体的表面温度, $n$是辐射表面的外法向单位矢量, $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{W}/(\\text{m}^2 \\text{K}^4)$; 小行星绕太阳做圆周运动, 轨道半径为$R_a$, 小行星自转角速度大小为$\\omega$, 自转轴和公转轴相互平行, 公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为 $r_a$，密度为 $\\rho$，比热容为 $C$，热导率为$\\kappa$。已知太阳的表面温度$T_S = 6000 \\text{K}$、半径$r_S = 7 \\times 10^8 \\text{m}$、质量 $M_S = 2 \\times 10^{30} \\text{kg}$，$r_a \\ll r_S \\ll R_a$；引力常数 $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{m}^3/(\\text{kg} \\cdot \\text{s}^2)$, 真空中的光速 $c = 3.0 \\times 10^8 \\text{m}/\\text{s}$。\n（1）假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面, 证明该黑体表面单位面积因吸收辐射而受到的辐射力 $F_r$ 和辐射能流密度 $J_r$ 的关系为 $F_r = J_r/c$。\n（2）假设小行星表面温度始终保持均匀恒定，求其表面处接收的太阳辐射能流密度 $J_0$，表面温度 $T_0$ 分别与轨道半径 $R_a$ 的关系；估算辐射作用力对典型小行星的运行轨道半径的相对改变量，假设典型小行星的半径为 $10^3 \\text{m}$、密度为$5 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$。\n\n[figure1] \n图 6a \n（3）由于自转, 小行星表面任意给定位置单位面积接收太阳辐射的功率随时间周期性地改变, 该位置的温度也相应地随时间改变, 但二者的改变并不同步, 后者会滞后于前者一个相位, 这是因有限的比热容和热传导率导致的. 对于典型的小行星, 热传导主要发生在垂直于小行星表面的方向上, 并局限在厚度较小的表层内, 可用一维热传导模型来研究这个滞后相位的大小. 先考虑小行星赤道上的情况: 如图 6a 所示, 赤道上经度为 $\\varphi$ 处单位表面接收的太阳辐射功率 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 随时间 $t$ 周期性地变化, 当 $t=0$ 时, 经度 $\\varphi = 0$ 正对太阳, 自转方向为经度 $\\varphi$ 增加的方向, 假设 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 可表示为 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi) = \\frac{J_0}{4} + \\alpha J_0 \\cos (\\omega t + \\varphi)$, 其中 $\\alpha$ 为常数。$t$ 时刻小行星内部与表面距离为 $x$ ($x \\ge 0$) 处的温度 $T(t, x, \\varphi)$ 满足热传导方程 $\\rho C \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial t} = \\kappa \\frac{\\partial^2 T(t, x, \\varphi)}{\\partial x^2}$。在表面 ($x = 0$) 处满足能流守恒方程 $-\\kappa \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial x}\\Biggr|_{x=0} + J_{\\text{out}}(t, \\varphi) = J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$, 其中$J_{\\text{out}}(t, \\varphi)$ 为此处表面向外辐射的能流密度。已知热传导方程的解具有下列形式 $T(t, x, \\varphi) = T_0 + T_1 e^{-\\gamma x} \\cos (\\omega t - \\beta x + \\varphi - \\delta)$。假设$T_1 \\ll T_0$, 求 $T_1$, $\\gamma$，$\\beta$ 的表达式以及表面温度的滞后相位 $\\delta$。\n（4）利用第 (3) 问的结果, 计算同一时刻小行星赤道上不同经度 $\\varphi$ 处由于向外辐射, 单位面积所受到的力 $\\mathbf{F}(\\varphi)$，并求整个赤道上单位面积所受到的平均辐射力 $\\bar{\\mathbf{F}}$.\n（5）整个小行星由于向外辐射所受到的力是 $\\lambda S \\bar{\\mathbf{F}}$，其中 $S$ 为小行星的表面积，$\\lambda$ 为数量级为$1$的常数。求由于小行星向外辐射所导致的轨道运动方向上的加速度 $a$。", "question": "由于小行星运行轨道的改变十分缓慢，其运行轨道可以始终近似为圆形，忽略辐射对自转的影响，求因向外辐射导致小行星的轨道半径 $R_a$ 随时间的变化率。", "marking": [ [ "如果解答正确给出圆轨道速率 v=\\sqrt{\\tfrac{GM}{R_a}}，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出 a=\\dot{v}=-\\tfrac{\\sqrt{GM}}{2R_a^{3/2}}\\,\\dot{R}_a（由 v(R_a) 求导），则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确将 (5) 的 a 与上式相等并取“辐射力与公转同向”（加速）情形，解得 \\dot{R}_a=\\tfrac{3\\alpha\\lambda\\,\\sigma T_s^4 r_s^2}{c\\,r_a\\rho\\,\\sqrt{GM R_a}}\\,\\tfrac{\\Phi}{1+2\\Phi+2\\Phi^2}\\,>0，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出“辐射力与公转反向”（减速）时 \\dot{R}_a=-\\tfrac{3\\alpha\\lambda\\,\\sigma T_s^4 r_s^2}{c\\,r_a\\rho\\,\\sqrt{GM R_a}}\\,\\tfrac{\\Phi}{1+2\\Phi+2\\Phi^2} < 0，则得 2 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{当自转和公转方向相同时：$\\dot{R}_a = \\tfrac{3\\alpha\\lambda \\sigma T_s^4 r_s^2}{c r_a \\rho \\sqrt{G M R_a}} \\tfrac{\\Phi}{1+2\\Phi+2\\Phi^2}$}", "\\boxed{当自转和公转方向相反时：$\\dot{R}_a = -\\tfrac{3\\alpha\\lambda \\sigma T_s^4 r_s^2}{c r_a \\rho \\sqrt{G M R_a}} \\tfrac{\\Phi}{1+2\\Phi+2\\Phi^2}$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 3.5, 3.5 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_6_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_6_7", "context": "热辐射是电磁波, 电磁波具有动量, 物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用。在讨论小行星运行运动时, 辐射力的作用通常是敏感的。由于小行星的自转和有限热传导率，辐射作用力可改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论: 假设小行星和太阳星体均为球状理想黑体, 辐射能流密度$J$服从斯特凡-玻尔兹曼定律, $J = \\sigma T^4 n$, 其中$T$为黑体的表面温度, $n$是辐射表面的外法向单位矢量, $\\sigma = 5.67 \\times 10^{-8} \\text{W}/(\\text{m}^2 \\text{K}^4)$; 小行星绕太阳做圆周运动, 轨道半径为$R_a$, 小行星自转角速度大小为$\\omega$, 自转轴和公转轴相互平行, 公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为 $r_a$，密度为 $\\rho$，比热容为 $C$，热导率为$\\kappa$。已知太阳的表面温度$T_S = 6000 \\text{K}$、半径$r_S = 7 \\times 10^8 \\text{m}$、质量 $M_S = 2 \\times 10^{30} \\text{kg}$，$r_a \\ll r_S \\ll R_a$；引力常数 $G = 6.67 \\times 10^{-11} \\text{m}^3/(\\text{kg} \\cdot \\text{s}^2)$, 真空中的光速 $c = 3.0 \\times 10^8 \\text{m}/\\text{s}$。\n（1）假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面, 证明该黑体表面单位面积因吸收辐射而受到的辐射力 $F_r$ 和辐射能流密度 $J_r$ 的关系为 $F_r = J_r/c$。\n（2）假设小行星表面温度始终保持均匀恒定，求其表面处接收的太阳辐射能流密度 $J_0$，表面温度 $T_0$ 分别与轨道半径 $R_a$ 的关系；估算辐射作用力对典型小行星的运行轨道半径的相对改变量，假设典型小行星的半径为 $10^3 \\text{m}$、密度为$5 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$。\n\n[figure1] \n图 6a \n（3）由于自转, 小行星表面任意给定位置单位面积接收太阳辐射的功率随时间周期性地改变, 该位置的温度也相应地随时间改变, 但二者的改变并不同步, 后者会滞后于前者一个相位, 这是因有限的比热容和热传导率导致的. 对于典型的小行星, 热传导主要发生在垂直于小行星表面的方向上, 并局限在厚度较小的表层内, 可用一维热传导模型来研究这个滞后相位的大小. 先考虑小行星赤道上的情况: 如图 6a 所示, 赤道上经度为 $\\varphi$ 处单位表面接收的太阳辐射功率 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 随时间 $t$ 周期性地变化, 当 $t=0$ 时, 经度 $\\varphi = 0$ 正对太阳, 自转方向为经度 $\\varphi$ 增加的方向, 假设 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$ 可表示为 $J_{\\text{in}}(t, \\varphi) = \\frac{J_0}{4} + \\alpha J_0 \\cos (\\omega t + \\varphi)$, 其中 $\\alpha$ 为常数。$t$ 时刻小行星内部与表面距离为 $x$ ($x \\ge 0$) 处的温度 $T(t, x, \\varphi)$ 满足热传导方程 $\\rho C \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial t} = \\kappa \\frac{\\partial^2 T(t, x, \\varphi)}{\\partial x^2}$。在表面 ($x = 0$) 处满足能流守恒方程 $-\\kappa \\frac{\\partial T(t, x, \\varphi)}{\\partial x}\\Biggr|_{x=0} + J_{\\text{out}}(t, \\varphi) = J_{\\text{in}}(t, \\varphi)$, 其中$J_{\\text{out}}(t, \\varphi)$ 为此处表面向外辐射的能流密度。已知热传导方程的解具有下列形式 $T(t, x, \\varphi) = T_0 + T_1 e^{-\\gamma x} \\cos (\\omega t - \\beta x + \\varphi - \\delta)$。假设$T_1 \\ll T_0$, 求 $T_1$, $\\gamma$，$\\beta$ 的表达式以及表面温度的滞后相位 $\\delta$。\n（4）利用第 (3) 问的结果, 计算同一时刻小行星赤道上不同经度 $\\varphi$ 处由于向外辐射, 单位面积所受到的力 $\\mathbf{F}(\\varphi)$，并求整个赤道上单位面积所受到的平均辐射力 $\\bar{\\mathbf{F}}$.\n（5）整个小行星由于向外辐射所受到的力是 $\\lambda S \\bar{\\mathbf{F}}$，其中 $S$ 为小行星的表面积，$\\lambda$ 为数量级为$1$的常数。求由于小行星向外辐射所导致的轨道运动方向上的加速度 $a$。\n（6）由于小行星运行轨道的改变十分缓慢，其运行轨道可以始终近似为圆形，忽略辐射对自转的影响，求因向外辐射导致小行星的轨道半径 $R_a$ 随时间的变化率。", "question": "考虑小行星带 ($R_a \\approx 4 \\times 10^{11} \\text{m}$) 上石质或铁质的小行星, （1）哪种小行星的亚尔科夫斯基效应更强？（2）要使得小行星轨道能从小行星带变成接近地球轨道 (半径约为$1.5 \\times 10^{11} \\text{m}$), 对小行星的自转方向有何要求? 已知小行星的典型自转周期约为$1 \\text{h}$, 石头的密度$\\rho_{\\text{st}} \\approx 3.5 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$, 比热容$C_{\\text{st}} \\approx 750 \\text{J}/(\\text{kg} \\cdot \\text{K})$, 热导率$\\kappa_{\\text{st}} \\approx 3 \\text{W}/(\\text{m} \\cdot \\text{K})$; 铁的密度$\\rho_{\\text{Fe}} \\approx 8 \\times 10^3 \\text{kg}/\\text{m}^3$, 比热容$C_{\\text{Fe}} \\approx 500 \\text{J}/(\\text{kg} \\cdot \\text{K})$, 热导率$\\kappa_{\\text{Fe}} \\approx 70 \\text{W}/(\\text{m} \\cdot \\text{K})$。", "marking": [ [ "如果解答正确写出小行星带平均温度 T_0=T_s\\sqrt{\\tfrac{r_s}{2R_a}}\\simeq180\\,\\text{K}，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确代入岩石（ST）的热参数 \\Phi_{\\mathrm{ST}}=\\sqrt{\\tfrac{2C_{\\mathrm{ST}}\\rho_{\\mathrm{ST}}\\omega\\kappa_{\\mathrm{ST}}}{8\\sigma T_0^3}}=\\sqrt{\\tfrac{C_{\\mathrm{ST}}\\rho_{\\mathrm{ST}}\\omega\\kappa_{\\mathrm{ST}}}{2\\sigma T_s^4 r_s^{3/2}}}\\,R_a^{3/2}\\approx65，则得 1 分。否则得 0 分。（C 为比热容，\\kappa 为导热率）", "如果解答正确代入铁（Fe）的热参数 \\Phi_{\\mathrm{Fe}}=\\sqrt{\\tfrac{2C_{\\mathrm{Fe}}\\rho_{\\mathrm{Fe}}\\omega\\kappa_{\\mathrm{Fe}}}{8\\sigma T_0^3}}\\approx390，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确利用 (5)-(6) 的 a\\propto\\tfrac{1}{\\rho}\\,\\tfrac{\\Phi}{1+2\\Phi+2\\Phi^2} 推得 a_{\\mathrm{ST}}\\propto\\tfrac{1}{\\rho_{\\mathrm{ST}}}\\,\\tfrac{\\Phi_{\\mathrm{ST}}}{1+2\\Phi_{\\mathrm{ST}}+2\\Phi_{\\mathrm{ST}}^2}\\;>\\;a_{\\mathrm{Fe}}\\propto\\tfrac{1}{\\rho_{\\mathrm{Fe}}}\\,\\tfrac{\\Phi_{\\mathrm{Fe}}}{1+2\\Phi_{\\mathrm{Fe}}+2\\Phi_{\\mathrm{Fe}}^2}，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确明确结论“石质小行星的切向加速度更大、受影响更显著”，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确明确指出“要使轨道半径减小，必须小行星自转方向与公转方向相反”，则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{石质小行星受到影响更大}", "\\boxed{要使轨道半径减小，小行星自转方向必须和公转方向相反}" ], "answer_type": [ "Open-Ended", "Open-Ended" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 3.5, 3.5 ], "modality": "text+illustration figure", "field": "Thermodynamics", "source": "CPhO_2025", "image_question": [ "image_question/CPhO_2025_6_1.png" ] }, { "id": "CPhO_2025_7_1", "context": "等离子体被称为物质的第四态, 宇宙中 99% 的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质, 它由阴离子和阳离子的电荷量相等, 整体呈现准中性而得名. 等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果, 这称之为德拜屏蔽. 现考虑由电子和 $+1$ 价阳离子组成的等离子体, 在平衡状态下, 离子和电子的数密度 $n_j$ (j = i, e 分别表示离子和电子) 都满足玻尔兹曼分布 $n_j = n_{j0} \\exp \\left( - \\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\right)$, 其中 $n_{j0}$ 为常量, $q_j$ 为电荷量, $\\phi$ 为静电势, $T_j$ 为绝对温度, $k_B$ 为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为 $\\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\ll 1$, 准中性的条件为 $n_{i0} = n_{e0} = n_0$, 元电荷量用 $e$ 表示。", "question": "一维等离子体中的粒子满足方程 (动量方程) $m_j n_j (\\partial_t v_j + v_j \\partial_x v_j) = q_j n_j E - \\partial_x p_j$, 其中$m_j, v_j$分别为粒子的质量和宏观速度, $E$ 为电场强度, $p_j$ 为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔兹曼分布 (此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化)。", "marking": [ [ "如果解答正确写出电子流体静力平衡：\\,-\\partial_x p_e + e n_e \\partial_x \\phi = 0，则得 1 分。否则得 0 分。说明：\\(p_e\\) 为电子压强，\\(n_e\\) 为电子数密度，\\(\\phi\\) 为静电势，\\(e\\) 取元电荷的正值（电子带电量为 \\(-e\\)）。", "如果解答正确写出理想气体状态方程（温度恒定）：\\,p_e = n_e k_B T_e，则得 1 分。否则得 0 分。说明：\\(k_B\\) 为玻尔兹曼常数，\\(T_e\\) 为电子温度且在本小问中视为常数。", "如果解答正确推出玻尔兹曼关系的微分形式：\\,\\partial_x \\ln n_e = \\frac{e}{k_B T_e} \\partial_x \\phi（即 \\(\\partial_x \\ln n_e = \\partial_x ( e\\phi/(k_B T_e) )\\)），则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$n_e = n_0 \\exp \\left( \\frac{e \\phi}{k_B T_e} \\right)$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 3.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_7_2", "context": "等离子体被称为物质的第四态, 宇宙中 99% 的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质, 它由阴离子和阳离子的电荷量相等, 整体呈现准中性而得名. 等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果, 这称之为德拜屏蔽. 现考虑由电子和 $+1$ 价阳离子组成的等离子体, 在平衡状态下, 离子和电子的数密度 $n_j$ (j = i, e 分别表示离子和电子) 都满足玻尔兹曼分布 $n_j = n_{j0} \\exp \\left( - \\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\right)$, 其中 $n_{j0}$ 为常量, $q_j$ 为电荷量, $\\phi$ 为静电势, $T_j$ 为绝对温度, $k_B$ 为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为 $\\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\ll 1$, 准中性的条件为 $n_{i0} = n_{e0} = n_0$, 元电荷量用 $e$ 表示。\n（1）一维等离子体中的粒子满足方程 (动量方程) $m_j n_j (\\partial_t v_j + v_j \\partial_x v_j) = q_j n_j E - \\partial_x p_j$, 其中$m_j, v_j$分别为粒子的质量和宏观速度, $E$ 为电场强度, $p_j$ 为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔兹曼分布 (此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化)。", "question": "现将一个试探点电荷 $q$ 放入题所述等离子体中, 在弱耦合条件下：（1）求稳态下三维空间的静电势分布 $\\phi(r)$，$r$ 是场点到电荷$q$的距离；（2）导出电势分布 $\\phi(r)$ 的特征长度即德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ ($\\lambda_D \\equiv \\frac{- \\phi r}{d(\\phi r) / d r}$) 的表达式，（3）导出电子德拜屏蔽长度 $\\lambda_{De}$ 的表达式 (电子德拜屏蔽长度是指离子温度趋于无穷时的德拜屏蔽长度)；（4）已知 $n_0 = 1.0 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$，$\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，$k_B T_e = 10 \\text{keV}$，$e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，给出德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ 的数值。", "marking": [ [ "如果解答正确在球对称下写出泊松方程并代入玻尔兹曼分布：\\,\\frac{1}{r^2}\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r}\\!\\left(r^2\\frac{\\mathrm{d}\\phi}{\\mathrm{d}r}\\right)=\\frac{e n_0}{\\varepsilon_0}\\Big[\\exp\\!\\left(\\frac{e\\phi}{k_B T_e}\\right)-\\exp\\!\\left(-\\frac{e\\phi}{k_B T_i}\\right)\\Big]，则得 1 分。否则得 0 分。说明：\\(n_0\\) 为无扰动的均匀密度，\\(T_i\\) 为离子温度，\\(\\varepsilon_0\\) 为真空介电常数。", "如果解答正确在弱耦合（\\(|e\\phi|\\ll k_B T_{e,i}|\\)）下一阶展开并线性化：\\,\\frac{1}{r^2}\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r}\\!\\left(r^2\\frac{\\mathrm{d}\\phi}{\\mathrm{d}r}\\right)=\\frac{e^2 n_0}{\\varepsilon_0 k_B}\\!\\left(\\frac{1}{T_e}+\\frac{1}{T_i}\\right)\\phi，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确定义德拜长度：\\,\\lambda_D=\\Big[\\frac{e^2 n_0}{\\varepsilon_0 k_B}\\!\\left(\\frac{1}{T_e}+\\frac{1}{T_i}\\right)\\Big]^{-\\tfrac{1}{2}}，并说明使 ⑤ 化为 \\(\\frac{1}{r^2}\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r}(r^2\\phi')=\\phi/\\lambda_D^2\\)，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确引入 \\(u(r)=r\\phi(r)\\) 并写出常系数方程及其通解：\\,u''=u/\\lambda_D^2 \\Rightarrow \\phi(r)=\\frac{A}{r}\\exp\\!\\left(-\\frac{r}{\\lambda_D}\\right)+\\frac{B}{r}\\exp\\!\\left(\\frac{r}{\\lambda_D}\\right)，则得 1 分。否则得 0 分。", "⑩如果解答正确正确使用边界条件：\\,r\\to\\infty\\Rightarrow \\phi\\to 0 \\Rightarrow B=0；\\,r\\to 0 时电势应趋于点电荷库仑型 \\(\\phi\\sim q/(4\\pi\\varepsilon_0 r)\\)，则得 1 分。否则得 0 分。变量：\\(q\\) 为原点处点电荷量。", "如果解答正确写出屏蔽库仑势（汤姆逊公式）：\\,\\phi(r)=\\dfrac{q}{4\\pi\\varepsilon_0 r}\\exp\\!\\left(-\\dfrac{r}{\\lambda_D}\\right)，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出电子德拜长度 \\(\\lambda_{De}=\\sqrt{\\dfrac{\\varepsilon_0 k_B T_e}{e^2 n_0}}\\) 并代入题给数据算得 \\(\\lambda_{De}\\approx 22.4\\,\\mu\\mathrm{m}\\)，则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\phi(r) = \\frac{q}{4\\pi \\varepsilon_0 r} \\exp(-\\frac{r}{\\lambda_D})$}", "\\boxed{$\\lambda_D = \\left(\\frac{e^2 n_0}{\\varepsilon_0} \\frac{T_e+T_i}{k_B T_e T_i} \\right)^{-\\frac{1}{2}}$}", "\\boxed{$\\lambda_{De} = \\left( \\frac{\\varepsilon_0 k_B T_e}{e^2 n_0} \\right)^{1/2}$}", "\\boxed{$\\lambda_{De}\\approx 22.4 \\mu\\mathrm{m}$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression", "Expression", "Numerical Value" ], "unit": [ null, null, null, "\\mu m" ], "points": [ 2.0, 2.0, 2.0, 1.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_7_3", "context": "等离子体被称为物质的第四态, 宇宙中 99% 的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质, 它由阴离子和阳离子的电荷量相等, 整体呈现准中性而得名. 等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果, 这称之为德拜屏蔽. 现考虑由电子和 $+1$ 价阳离子组成的等离子体, 在平衡状态下, 离子和电子的数密度 $n_j$ (j = i, e 分别表示离子和电子) 都满足玻尔兹曼分布 $n_j = n_{j0} \\exp \\left( - \\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\right)$, 其中 $n_{j0}$ 为常量, $q_j$ 为电荷量, $\\phi$ 为静电势, $T_j$ 为绝对温度, $k_B$ 为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为 $\\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\ll 1$, 准中性的条件为 $n_{i0} = n_{e0} = n_0$, 元电荷量用 $e$ 表示。\n（1）一维等离子体中的粒子满足方程 (动量方程) $m_j n_j (\\partial_t v_j + v_j \\partial_x v_j) = q_j n_j E - \\partial_x p_j$, 其中$m_j, v_j$分别为粒子的质量和宏观速度, $E$ 为电场强度, $p_j$ 为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔兹曼分布 (此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化)。\n（2）现将一个试探点电荷 $q$ 放入题所述等离子体中, 在弱耦合条件下：（2.1）求稳态下三维空间的静电势分布 $\\phi(r)$，$r$ 是场点到电荷$q$的距离；（2.2）导出电势分布 $\\phi(r)$ 的特征长度即德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ ($\\lambda_D \\equiv \\frac{- \\phi r}{d(\\phi r) / d r}$) 的表达式和电子德拜屏蔽长度 $\\lambda_{De}$ 的表达式 (电子德拜屏蔽长度是指离子温度趋于无穷时的德拜屏蔽长度)；（2.3）已知 $n_0 = 1.0 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$，$\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，$k_B T_e = 10 \\text{keV}$，$e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，给出德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ 的数值。", "question": "德拜屏蔽效应显示, 等离子体中的电荷分离效应只是在 $\\lambda_D$ 尺度上存在, 在远大于 $\\lambda_D$ 尺度上, 等离子体可视为准中性体. 但在离子宏观速度 $v_i$ 和外磁场 $B$ 不为零的情况下, 离子流受力平衡 (忽略压强) 的条件要求存在非零的平衡电场, 因而$\\Delta n = n_i - n_e \\neq 0$. 假定电场强度 $E$ 的梯度标长为$L$ (若电场沿着 $x$ 方向的分布不均匀, 梯度标长为 $\\frac{E}{dE/dx}$), 系统运动的特征圆频率$\\omega_0 \\approx \\frac{v_i}{L}$. 用 $\\omega_{pe}$ (即 $\\sqrt{\\frac{e^2 n_0}{\\epsilon_0 m_e}}$), $\\omega_{ce}$ (即 $\\frac{e B}{m_e}$) 和 $\\omega_0$ 将 $\\frac{\\Delta n}{n}$ 近似表出: 假定特征频率 $\\frac{\\omega_0}{2\\pi} = 1 \\text{GHz}$, 磁场$B = 1 \\text{T}$, $n_0 = 1 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$, 估算$\\frac{\\Delta n}{n}$ 的数值。", "marking": [ [ "如果解答正确由高斯定律一维形式 \\(\\mathrm{d}E/\\mathrm{d}x=\\rho/\\varepsilon_0=e\\Delta n/\\varepsilon_0\\) 与场的尺度 \\(L\\equiv E/(\\mathrm{d}E/\\mathrm{d}x)\\) 得出 \\(\\Delta n/n_0\\approx \\dfrac{\\varepsilon_0 E}{e L n_0}\\)，则得 2 分。否则得 0 分。说明：\\(\\Delta n\\equiv n_i-n_e\\)，\\(E\\) 为电场强度，\\(L\\) 为其空间变化尺度。", "如果解答正确平衡时离子受力为零 \\(\\mathbf{E}+\\mathbf{v}_i\\times\\mathbf{B}=0\\Rightarrow E\\approx v_i B\\)；若特征速度 \\(v_i\\approx \\omega_0 L\\)，联立得 \\(\\Delta n/n_0\\approx \\varepsilon_0\\omega_0 B/(e n_0)=\\omega_0\\omega_{ce}/\\omega_{pe}^2\\)，则得 2 分。否则得 0 分。定义：\\(\\omega_{ce}=eB/m_e\\)，\\(\\omega_{pe}^2=e^2 n_0/(\\varepsilon_0 m_e)\\)。", "如果解答正确代入题给数值估算 \\(\\Delta n/n_0\\approx 0.35\\%\\)，则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{0.35%}" ], "answer_type": [ "Numerical Value" ], "unit": [ null ], "points": [ 5.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_7_4", "context": "等离子体被称为物质的第四态, 宇宙中 99% 的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质, 它由阴离子和阳离子的电荷量相等, 整体呈现准中性而得名. 等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果, 这称之为德拜屏蔽. 现考虑由电子和 $+1$ 价阳离子组成的等离子体, 在平衡状态下, 离子和电子的数密度 $n_j$ (j = i, e 分别表示离子和电子) 都满足玻尔兹曼分布 $n_j = n_{j0} \\exp \\left( - \\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\right)$, 其中 $n_{j0}$ 为常量, $q_j$ 为电荷量, $\\phi$ 为静电势, $T_j$ 为绝对温度, $k_B$ 为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为 $\\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\ll 1$, 准中性的条件为 $n_{i0} = n_{e0} = n_0$, 元电荷量用 $e$ 表示。\n（1）一维等离子体中的粒子满足方程 (动量方程) $m_j n_j (\\partial_t v_j + v_j \\partial_x v_j) = q_j n_j E - \\partial_x p_j$, 其中$m_j, v_j$分别为粒子的质量和宏观速度, $E$ 为电场强度, $p_j$ 为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔兹曼分布 (此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化)。\n（2）现将一个试探点电荷 $q$ 放入题所述等离子体中, 在弱耦合条件下：（2.1）求稳态下三维空间的静电势分布 $\\phi(r)$，$r$ 是场点到电荷$q$的距离；（2.2）导出电势分布 $\\phi(r)$ 的特征长度即德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ ($\\lambda_D \\equiv \\frac{- \\phi r}{d(\\phi r) / d r}$) 的表达式和电子德拜屏蔽长度 $\\lambda_{De}$ 的表达式 (电子德拜屏蔽长度是指离子温度趋于无穷时的德拜屏蔽长度)；（2.3）已知 $n_0 = 1.0 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$，$\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，$k_B T_e = 10 \\text{keV}$，$e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，给出德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ 的数值。\n（3）德拜屏蔽效应显示, 等离子体中的电荷分离效应只是在 $\\lambda_D$ 尺度上存在, 在远大于 $\\lambda_D$ 尺度上, 等离子体可视为准中性体. 但在离子宏观速度 $v_i$ 和外磁场 $B$ 不为零的情况下, 离子流受力平衡 (忽略压强) 的条件要求存在非零的平衡电场, 因而$\\Delta n = n_i - n_e \\neq 0$. 假定电场强度 $E$ 的梯度标长为$L$ (若电场沿着 $x$ 方向的分布不均匀, 梯度标长为 $\\frac{E}{dE/dx}$), 系统运动的特征圆频率$\\omega_0 \\approx \\frac{v_i}{L}$. 用 $\\omega_{pe}$ (即 $\\sqrt{\\frac{e^2 n_0}{\\epsilon_0 m_e}}$), $\\omega_{ce}$ (即 $\\frac{e B}{m_e}$) 和 $\\omega_0$ 将 $\\frac{\\Delta n}{n}$ 近似表出: 假定特征频率 $\\frac{\\omega_0}{2\\pi} = 1 \\text{GHz}$, 磁场$B = 1 \\text{T}$, $n_0 = 1 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$, 估算$\\frac{\\Delta n}{n}$ 的数值。", "question": "电子与离子的巨大质量差异使得等离子体中的波动现象丰富而复杂, 从次声波到超高频的电磁波都可以在等离子体中观测到. 现在我们关注声波频率范围内的波动现象. 无磁场情况下, 等离子体中的各成分除满足 (1) 中的动量方程之外, 还受到下方方程组的约束: $\\begin{cases} \\partial_t n_j + \\partial_x (n_j v_j) = 0 \\\\ (\\partial_t + v_j \\partial_x) (p_j n_j^{-\\gamma_j}) = 0 \\\\ \\partial_t E = \\frac{e}{\\epsilon_0} (n_i - n_e) \\end{cases}$. 其中, $\\gamma_j (j=i, e)$ 表示粒子的多方指数. 假设等离子体平衡时在自由空间中均匀分布且无宏观流动, 现在该等离子体中有$\\exp (-i \\omega t + i k x)$ 形式的小扰动, 保留扰动量的一阶项, 利用上方方程组导出$\\omega$与$k$满足的一般关系式, 用$\\omega, k, \\gamma_j, m_j, T_j, \\lambda_{De}$ 和 $k_B$ 表示 (所有扰动量的下标 1 表示, 未扰动量用 0 表示)。", "marking": [ [ "如果解答正确建立即小扰动的两流体线性方程组并给出闭合关系：连续方程 \\(-i\\omega n_{s1}+ik n_{s0} v_{s1}=0\\)；动量方程 \\(-i\\omega m_s n_{s0} v_{s1}+ik p_{s1}\\pm e n_{s0} E_1=0\\)（上号离子、下号电子）；压强扰动 \\(p_{s1}=\\gamma_s k_B T_{s0} n_{s1}\\)；泊松方程 \\(ik\\varepsilon_0 E_1=e(n_{i1}-n_{e1})\\)。消元得到色散式： \\[\\frac{\\omega_{pe}^2}{\\omega^2-\\gamma_e\\frac{k^2 k_B T_e}{m_e}}+\\frac{\\omega_{pi}^2}{\\omega^2-\\gamma_i\\frac{k^2 k_B T_i}{m_i}}=1\\]，则得 7 分。否则得 0 分。定义：\\(\\omega_{ps}^2=e^2 n_0/(\\varepsilon_0 m_s)\\)。", "如果解答正确得到关于 \\(\\omega\\) 的四次多项式：\\\\\\[\\omega^{4}-\\omega^{2}\\Bigg[\\frac{k_B T_e}{m_e}\\Big(\\gamma_e k^{2}+\\frac{1}{\\lambda_{De}^{2}}\\Big)+\\frac{1}{\\lambda_{De}}\\frac{k_B T_e}{m_i}+\\gamma_i k^{2}\\frac{k_B T_i}{m_i}\\Bigg]+\\frac{\\gamma_i k^{2} k_B^{2} T_i T_e\\big(1+\\gamma_e k^{2}\\lambda_{De}^{2}\\big)+\\gamma_e k^{2} k_B^{2} T_e^{2}}{\\lambda_{De}^{2} m_e m_i}=0\\]，则得 5 分。否则得 0 分。这里 \\(\\lambda_{De}^2=\\varepsilon_0 k_B T_e/(e^2 n_0)\\)。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\omega^{4}-\\omega^{2}\\Bigg[\\frac{k_B T_e}{m_e}\\Big(\\gamma_e k^{2}+\\frac{1}{\\lambda_{De}^{2}}\\Big)+\\frac{1}{\\lambda_{De}^2}\\frac{k_B T_e}{m_i}+\\gamma_i k^{2}\\frac{k_B T_i}{m_i}\\Bigg] + \\frac{\\gamma_i k^{2} k_B^{2} T_i T_e \\big(1+\\gamma_e k^{2}\\lambda_{De}^{2}\\big)+\\gamma_e k^{2} k_B^{2} T_e^{2}}{\\lambda_{De}^{2} m_e m_i} = 0$}" ], "answer_type": [ "Expression" ], "unit": [ null ], "points": [ 12.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_7_5", "context": "等离子体被称为物质的第四态, 宇宙中 99% 的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质, 它由阴离子和阳离子的电荷量相等, 整体呈现准中性而得名. 等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果, 这称之为德拜屏蔽. 现考虑由电子和 $+1$ 价阳离子组成的等离子体, 在平衡状态下, 离子和电子的数密度 $n_j$ (j = i, e 分别表示离子和电子) 都满足玻尔兹曼分布 $n_j = n_{j0} \\exp \\left( - \\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\right)$, 其中 $n_{j0}$ 为常量, $q_j$ 为电荷量, $\\phi$ 为静电势, $T_j$ 为绝对温度, $k_B$ 为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为 $\\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\ll 1$, 准中性的条件为 $n_{i0} = n_{e0} = n_0$, 元电荷量用 $e$ 表示。\n（1）一维等离子体中的粒子满足方程 (动量方程) $m_j n_j (\\partial_t v_j + v_j \\partial_x v_j) = q_j n_j E - \\partial_x p_j$, 其中$m_j, v_j$分别为粒子的质量和宏观速度, $E$ 为电场强度, $p_j$ 为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔兹曼分布 (此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化)。\n（2）现将一个试探点电荷 $q$ 放入题所述等离子体中, 在弱耦合条件下：（2.1）求稳态下三维空间的静电势分布 $\\phi(r)$，$r$ 是场点到电荷$q$的距离；（2.2）导出电势分布 $\\phi(r)$ 的特征长度即德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ ($\\lambda_D \\equiv \\frac{- \\phi r}{d(\\phi r) / d r}$) 的表达式和电子德拜屏蔽长度 $\\lambda_{De}$ 的表达式 (电子德拜屏蔽长度是指离子温度趋于无穷时的德拜屏蔽长度)；（2.3）已知 $n_0 = 1.0 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$，$\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，$k_B T_e = 10 \\text{keV}$，$e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，给出德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ 的数值。\n（3）德拜屏蔽效应显示, 等离子体中的电荷分离效应只是在 $\\lambda_D$ 尺度上存在, 在远大于 $\\lambda_D$ 尺度上, 等离子体可视为准中性体. 但在离子宏观速度 $v_i$ 和外磁场 $B$ 不为零的情况下, 离子流受力平衡 (忽略压强) 的条件要求存在非零的平衡电场, 因而$\\Delta n = n_i - n_e \\neq 0$. 假定电场强度 $E$ 的梯度标长为$L$ (若电场沿着 $x$ 方向的分布不均匀, 梯度标长为 $\\frac{E}{dE/dx}$), 系统运动的特征圆频率$\\omega_0 \\approx \\frac{v_i}{L}$. 用 $\\omega_{pe}$ (即 $\\sqrt{\\frac{e^2 n_0}{\\epsilon_0 m_e}}$), $\\omega_{ce}$ (即 $\\frac{e B}{m_e}$) 和 $\\omega_0$ 将 $\\frac{\\Delta n}{n}$ 近似表出: 假定特征频率 $\\frac{\\omega_0}{2\\pi} = 1 \\text{GHz}$, 磁场$B = 1 \\text{T}$, $n_0 = 1 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$, 估算$\\frac{\\Delta n}{n}$ 的数值。\n（4）电子与离子的巨大质量差异使得等离子体中的波动现象丰富而复杂, 从次声波到超高频的电磁波都可以在等离子体中观测到. 现在我们关注声波频率范围内的波动现象. 无磁场情况下, 等离子体中的各成分除满足 (1) 中的动量方程之外, 还受到下方方程组的约束: $\\begin{cases} \\partial_t n_j + \\partial_x (n_j v_j) = 0 \\\\ (\\partial_t + v_j \\partial_x) (p_j n_j^{-\\gamma_j}) = 0 \\\\ \\partial_t E = \\frac{e}{\\epsilon_0} (n_i - n_e) \\end{cases}$. 其中, $\\gamma_j (j=i, e)$ 表示粒子的多方指数. 假设等离子体平衡时在自由空间中均匀分布且无宏观流动, 现在该等离子体中有$\\exp (-i \\omega t + i k x)$ 形式的小扰动, 保留扰动量的一阶项, 利用上方方程组导出$\\omega$与$k$满足的一般关系式, 用$\\omega, k, \\gamma_j, m_j, T_j, \\lambda_{De}$ 和 $k_B$ 表示 (所有扰动量的下标 1 表示, 未扰动量用 0 表示)。", "question": "（1）在 $\\omega^2$ 与 $k^2 \\frac{k_B T_e}{m_i}$ 量级相同 ($T_e$ 与$T_i$ 量级相同) 的情况下, 从第 (4) 问中的一般关系式导出 $\\omega^2 = \\omega^2(k)$ 的简化表达式, 即所谓的色散关系 (只保留领头阶项)；（2）在什么条件下, 该色散关系可以退化成经典离子声波的色散关系 $\\omega^2 = k^2 \\frac{\\gamma_e k_B T_e + \\gamma_i k_B T_i}{m_i}$？", "marking": [ [ "如果解答正确在离子声分支近似（\\(\\omega^2\\ll \\omega_{pe}^2\\)）得到了首阶关系：\\(-\\omega^2\\left(\\frac{k_B T_e}{m_e}\\left(\\gamma_e k^2 + \\frac{1}{\\lambda_{De}^2}\\right)\\right) + \\frac{\\gamma_i k^2 k_B^2 T_i T_e(1+\\gamma_e k^2 \\lambda_{De}^2) + \\gamma_e k^2 k_B^2 T_e^2}{\\lambda_{De}^2 m_e m_i} = 0\\)，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出相应色散关系：\\(\\omega^2 = \\frac{\\gamma_i k^2 k_B T_i}{m_i} + \\frac{\\gamma_e k^2 k_B T_e}{m_i(1+\\gamma_e k^2 \\lambda_{De}^2)}\\)，则得 2 分。否则得 0 分。", "如果解答正确在长波极限 \\(k^2\\lambda_{De}^2\\ll 1\\) 下化为经典离子声波：\\(\\omega^2 = k^2\\left(\\frac{\\gamma_i k_B T_i + \\gamma_e k_B T_e}{m_i}\\right)\\)，则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\omega^2 = \\frac{\\gamma_i k^2 k_B T_i}{m_i} + \\frac{\\gamma_e k^2 k_B T_e}{m_i(1 + \\gamma_e k^2 \\lambda_{De}^2)}$}", "\\boxed{$k^2 \\lambda_{De}^2 \\ll 1$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Inequality" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 4.0, 1.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_7_6", "context": "等离子体被称为物质的第四态, 宇宙中 99% 的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质, 它由阴离子和阳离子的电荷量相等, 整体呈现准中性而得名. 等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果, 这称之为德拜屏蔽. 现考虑由电子和 $+1$ 价阳离子组成的等离子体, 在平衡状态下, 离子和电子的数密度 $n_j$ (j = i, e 分别表示离子和电子) 都满足玻尔兹曼分布 $n_j = n_{j0} \\exp \\left( - \\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\right)$, 其中 $n_{j0}$ 为常量, $q_j$ 为电荷量, $\\phi$ 为静电势, $T_j$ 为绝对温度, $k_B$ 为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为 $\\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\ll 1$, 准中性的条件为 $n_{i0} = n_{e0} = n_0$, 元电荷量用 $e$ 表示。\n（1）一维等离子体中的粒子满足方程 (动量方程) $m_j n_j (\\partial_t v_j + v_j \\partial_x v_j) = q_j n_j E - \\partial_x p_j$, 其中$m_j, v_j$分别为粒子的质量和宏观速度, $E$ 为电场强度, $p_j$ 为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔兹曼分布 (此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化)。\n（2）现将一个试探点电荷 $q$ 放入题所述等离子体中, 在弱耦合条件下：（2.1）求稳态下三维空间的静电势分布 $\\phi(r)$，$r$ 是场点到电荷$q$的距离；（2.2）导出电势分布 $\\phi(r)$ 的特征长度即德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ ($\\lambda_D \\equiv \\frac{- \\phi r}{d(\\phi r) / d r}$) 的表达式和电子德拜屏蔽长度 $\\lambda_{De}$ 的表达式 (电子德拜屏蔽长度是指离子温度趋于无穷时的德拜屏蔽长度)；（2.3）已知 $n_0 = 1.0 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$，$\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，$k_B T_e = 10 \\text{keV}$，$e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，给出德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ 的数值。\n（3）德拜屏蔽效应显示, 等离子体中的电荷分离效应只是在 $\\lambda_D$ 尺度上存在, 在远大于 $\\lambda_D$ 尺度上, 等离子体可视为准中性体. 但在离子宏观速度 $v_i$ 和外磁场 $B$ 不为零的情况下, 离子流受力平衡 (忽略压强) 的条件要求存在非零的平衡电场, 因而$\\Delta n = n_i - n_e \\neq 0$. 假定电场强度 $E$ 的梯度标长为$L$ (若电场沿着 $x$ 方向的分布不均匀, 梯度标长为 $\\frac{E}{dE/dx}$), 系统运动的特征圆频率$\\omega_0 \\approx \\frac{v_i}{L}$. 用 $\\omega_{pe}$ (即 $\\sqrt{\\frac{e^2 n_0}{\\epsilon_0 m_e}}$), $\\omega_{ce}$ (即 $\\frac{e B}{m_e}$) 和 $\\omega_0$ 将 $\\frac{\\Delta n}{n}$ 近似表出: 假定特征频率 $\\frac{\\omega_0}{2\\pi} = 1 \\text{GHz}$, 磁场$B = 1 \\text{T}$, $n_0 = 1 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$, 估算$\\frac{\\Delta n}{n}$ 的数值。\n（4）电子与离子的巨大质量差异使得等离子体中的波动现象丰富而复杂, 从次声波到超高频的电磁波都可以在等离子体中观测到. 现在我们关注声波频率范围内的波动现象. 无磁场情况下, 等离子体中的各成分除满足 (1) 中的动量方程之外, 还受到下方方程组的约束: $\\begin{cases} \\partial_t n_j + \\partial_x (n_j v_j) = 0 \\\\ (\\partial_t + v_j \\partial_x) (p_j n_j^{-\\gamma_j}) = 0 \\\\ \\partial_t E = \\frac{e}{\\epsilon_0} (n_i - n_e) \\end{cases}$. 其中, $\\gamma_j (j=i, e)$ 表示粒子的多方指数. 假设等离子体平衡时在自由空间中均匀分布且无宏观流动, 现在该等离子体中有$\\exp (-i \\omega t + i k x)$ 形式的小扰动, 保留扰动量的一阶项, 利用上方方程组导出$\\omega$与$k$满足的一般关系式, 用$\\omega, k, \\gamma_j, m_j, T_j, \\lambda_{De}$ 和 $k_B$ 表示 (所有扰动量的下标 1 表示, 未扰动量用 0 表示)。\n（5）在 $\\omega^2$ 与 $k^2 \\frac{k_B T_e}{m_i}$ 量级相同 ($T_e$ 与$T_i$ 量级相同) 的情况下, 从第 (4) 问中的一般关系式导出 $\\omega^2 = \\omega^2(k)$ 的简化表达式, 即所谓的色散关系 (只保留领头阶项)；在什么条件下, 该色散关系可以退化成经典离子声波的色散关系 $\\omega^2 = k^2 \\frac{\\gamma_e k_B T_e + \\gamma_i k_B T_i}{m_i}$？", "question": "（1）在 $\\omega^2$ 与 $k^2 \\frac{k_B T_e}{m_e}$ 量级相同 ($T_e$ 与 $T_i$ 量级相同) 的情况下, 第 (4) 问中的一般关系式又给出怎样的简化色散关系 (只保留领头阶项)？（2）并给出波的群速度 $v_g$ 的表达式 (用$\\omega_{\\text{pe}}^2$ 和其他已知量表示)。", "marking": [ [ "如果解答正确识别电子分支主导项并约化为：\\,\\omega^4-\\omega^2\\,\\frac{k_B T_e}{m_e}\\Big(\\gamma_e k^2+\\frac{1}{\\lambda_{De}^2}\\Big)=0，则得 1 分。否则得 0 分。", "如果解答正确给出电子（朗缪尔样）色散关系：\\,\\omega^2=\\omega_{pe}^2+\\gamma_e\\frac{k^2 k_B T_e}{m_e}，其中 \\(\\omega_{pe}^2=e^2 n_0/(\\varepsilon_0 m_e)\\)，则得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确写出群速度：\\,v_g=\\frac{\\mathrm{d}\\omega}{\\mathrm{d}k}=\\frac{\\gamma_e k_B T_e}{m_e}\\,\\frac{k}{\\sqrt{\\omega_{pe}^2+\\gamma_e k^2 k_B T_e/m_e}}，则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\omega^2 = \\omega_{pe}^2 + \\gamma_e \\frac{k^2 k_B T_e}{m_e}$", "\\boxed{$v_g = \\frac{\\gamma_e k k_B T_e / m_e}{\\sqrt{\\omega_{pe}^2 + \\gamma_e k^2 k_B T_e/m_e}}$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 4.0, 1.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] }, { "id": "CPhO_2025_7_7", "context": "等离子体被称为物质的第四态, 宇宙中 99% 的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质, 它由阴离子和阳离子的电荷量相等, 整体呈现准中性而得名. 等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果, 这称之为德拜屏蔽. 现考虑由电子和 $+1$ 价阳离子组成的等离子体, 在平衡状态下, 离子和电子的数密度 $n_j$ (j = i, e 分别表示离子和电子) 都满足玻尔兹曼分布 $n_j = n_{j0} \\exp \\left( - \\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\right)$, 其中 $n_{j0}$ 为常量, $q_j$ 为电荷量, $\\phi$ 为静电势, $T_j$ 为绝对温度, $k_B$ 为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为 $\\frac{q_j \\phi}{k_B T_j} \\ll 1$, 准中性的条件为 $n_{i0} = n_{e0} = n_0$, 元电荷量用 $e$ 表示。\n（1）一维等离子体中的粒子满足方程 (动量方程) $m_j n_j (\\partial_t v_j + v_j \\partial_x v_j) = q_j n_j E - \\partial_x p_j$, 其中$m_j, v_j$分别为粒子的质量和宏观速度, $E$ 为电场强度, $p_j$ 为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔兹曼分布 (此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化)。\n（2）现将一个试探点电荷 $q$ 放入题所述等离子体中, 在弱耦合条件下：（2.1）求稳态下三维空间的静电势分布 $\\phi(r)$，$r$ 是场点到电荷$q$的距离；（2.2）导出电势分布 $\\phi(r)$ 的特征长度即德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ ($\\lambda_D \\equiv \\frac{- \\phi r}{d(\\phi r) / d r}$) 的表达式和电子德拜屏蔽长度 $\\lambda_{De}$ 的表达式 (电子德拜屏蔽长度是指离子温度趋于无穷时的德拜屏蔽长度)；（2.3）已知 $n_0 = 1.0 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$，$\\varepsilon_0 = 8.854 \\times 10^{-12} \\text{F/m}$，$k_B T_e = 10 \\text{keV}$，$e = 1.602 \\times 10^{-19} \\text{C}$，给出德拜屏蔽长度 $\\lambda_D$ 的数值。\n（3）德拜屏蔽效应显示, 等离子体中的电荷分离效应只是在 $\\lambda_D$ 尺度上存在, 在远大于 $\\lambda_D$ 尺度上, 等离子体可视为准中性体. 但在离子宏观速度 $v_i$ 和外磁场 $B$ 不为零的情况下, 离子流受力平衡 (忽略压强) 的条件要求存在非零的平衡电场, 因而$\\Delta n = n_i - n_e \\neq 0$. 假定电场强度 $E$ 的梯度标长为$L$ (若电场沿着 $x$ 方向的分布不均匀, 梯度标长为 $\\frac{E}{dE/dx}$), 系统运动的特征圆频率$\\omega_0 \\approx \\frac{v_i}{L}$. 用 $\\omega_{pe}$ (即 $\\sqrt{\\frac{e^2 n_0}{\\epsilon_0 m_e}}$), $\\omega_{ce}$ (即 $\\frac{e B}{m_e}$) 和 $\\omega_0$ 将 $\\frac{\\Delta n}{n}$ 近似表出: 假定特征频率 $\\frac{\\omega_0}{2\\pi} = 1 \\text{GHz}$, 磁场$B = 1 \\text{T}$, $n_0 = 1 \\times 10^{20} \\text{m}^{-3}$, 估算$\\frac{\\Delta n}{n}$ 的数值。\n（4）电子与离子的巨大质量差异使得等离子体中的波动现象丰富而复杂, 从次声波到超高频的电磁波都可以在等离子体中观测到. 现在我们关注声波频率范围内的波动现象. 无磁场情况下, 等离子体中的各成分除满足 (1) 中的动量方程之外, 还受到下方方程组的约束: $\\begin{cases} \\partial_t n_j + \\partial_x (n_j v_j) = 0 \\\\ (\\partial_t + v_j \\partial_x) (p_j n_j^{-\\gamma_j}) = 0 \\\\ \\partial_t E = \\frac{e}{\\epsilon_0} (n_i - n_e) \\end{cases}$. 其中, $\\gamma_j (j=i, e)$ 表示粒子的多方指数. 假设等离子体平衡时在自由空间中均匀分布且无宏观流动, 现在该等离子体中有$\\exp (-i \\omega t + i k x)$ 形式的小扰动, 保留扰动量的一阶项, 利用上方方程组导出$\\omega$与$k$满足的一般关系式, 用$\\omega, k, \\gamma_j, m_j, T_j, \\lambda_{De}$ 和 $k_B$ 表示 (所有扰动量的下标 1 表示, 未扰动量用 0 表示)。\n（5）在 $\\omega^2$ 与 $k^2 \\frac{k_B T_e}{m_i}$ 量级相同 ($T_e$ 与$T_i$ 量级相同) 的情况下, 从第 (4) 问中的一般关系式导出 $\\omega^2 = \\omega^2(k)$ 的简化表达式, 即所谓的色散关系 (只保留领头阶项)；在什么条件下, 该色散关系可以退化成经典离子声波的色散关系 $\\omega^2 = k^2 \\frac{\\gamma_e k_B T_e + \\gamma_i k_B T_i}{m_i}$？\n（6）在 $\\omega^2$ 与 $k^2 \\frac{k_B T_e}{m_e}$ 量级相同 ($T_e$ 与 $T_i$ 量级相同) 的情况下, 第 (4) 问中的一般关系式又给出怎样的简化色散关系 (只保留领头阶项)？并给出波的群速度 $v_g$ 的表达式 (用$\\omega_{\\text{pe}}^2$ 和其他已知量表示)。", "question": "假设电子满足弱耦合条件下的玻尔兹曼分布, 第 (4) 问中的方程 $\\partial_x E = \\frac{e}{\\epsilon_0} (n_i - n_e)$ 换成准中性条件 $n_i = n_e$, 离子满足的方程保持不变，（1）导出此时离子声波的色散关系 $\\omega^2 = \\omega^2(k)$，（2）并指出如何由经典离子声波的色散关系 (见第 (5) 问) 得到该结果。", "marking": [ [ "如果解答正确在电子满足弱耦合的麦克斯韦–玻尔兹曼分布下，写出简化方程组：\\{-i\\omega n_{i1}+ik n_{i0} v_{i1}=0,\\; -i\\omega m_i n_{i0} v_{i1}+ik\\gamma_i k_B T_i n_{i1}+ik e n_{i0}\\phi=0,\\; n_{i1}=n_{e1},\\; n_{e1}=n_{e0}\\,\\frac{e\\phi}{k_B T_e}\\}，并据此消元求色散关系的准备式，则得 4 分。否则得 0 分。", "如果解答正确推出色散关系：\\,\\omega^2=k^2\\left(\\frac{\\gamma_i k_B T_i}{m_i}+\\frac{k_B T_e}{m_i}\\right)，则得 3 分。否则得 0 分。", "如果解答正确指出与经典离子声波比较可知应取 \\(\\gamma_e=1\\)（玻尔兹曼电子为等温过程），则得 1 分。否则得 0 分。" ] ], "answer": [ "\\boxed{$\\omega^2 = k^2 \\frac{\\gamma_i k_B T_i + k_B T_e}{m_i}$}", "\\boxed{$\\gamma_e = 1$}" ], "answer_type": [ "Expression", "Expression" ], "unit": [ null, null ], "points": [ 7.0, 1.0 ], "modality": "text-only", "field": "Electromagnetism", "source": "CPhO_2025", "image_question": [] } ]