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2.48k
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 샤나두에서 유효한 차량 번호판은 두 개의 문자와 세 자리 숫자로 구성됩니다. 유효한 차량 번호판은 몇 개나 가능할까요?
###Response: "각각 두 개의 문자에 대해 26가지 선택지가 있으며, 세 개의 숫자에 대해 10가지 선택지가 있다.
따라서, 유효한 라이선스 플레이트의 총 수는 $26 \\times 26 \\times 10 \\times 10 \\times 10 = \\boxed{676,000}$이다.
답은: 676,000"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 보트 한 대를 10분 동안 타는 비용이 1500원이라고 합니다. 이 보트를 12명이 각각 13500원을 내어 A대를 빌려서 3시간 동안 탔습니다. A의 값을 구하시오.
###답변: 답은 6이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 문제를 해결하라.
\\[\\frac{x}{x + 3} \\ge 0.\\]구간 표기법을 사용하여 답을 입력하라.
###Response: "먼저, 우리는 부등식이 정의되지 않는 $x$의 값을 찾습니다.
표현식 $\\frac{x}{x + 3}$은 $x + 3 = 0$일 때 정의되지 않으며, $x = -3$일 때 정의됩니다.
다음으로, $x$가 $-3$보다 큰 경우와 $x$가 $-3$보다 작은 경우에 표현식의 부호를 고려합니다.
$x > -3$일 때, $x$와 $x + 3$ 모두 양수이므로 표현식은 양수입니다.
$x < -3$일 때, $x$와 $x + 3$ 모두 음수이므로 표현식은 음수입니다.
따라서, 부등식이 만족되는 구간은 $\\boxed{(-\\infty, -3) \\cup [0, \\infty)}$입니다.
답은: (-\\infty,-3)\\cup[0,\\infty)"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 그림에서, $BD$와 $DC$의 비율은 $4$ 대 $3$이다. $\\triangle ABD$의 넓이는 $24$ 제곱 센티미터이다. $\\triangle ADC$의 넓이는 얼마인가?
###Response: "비율 $BD$ 대비 $DC$가 $4$ 대 $3$이므로, $BD = 4x$와 $DC = 3x$로 $x$의 어떤 값으로 설정할 수 있습니다.
$\\triangle ABD$의 넓이가 $24$이므로, 삼각형의 넓이를 구하는 공식인 $\\frac{1}{2} \\times \\text{밑변} \\times \\text{높이}$를 사용할 수 있습니다.
$\\triangle ABD$의 밑변은 $AD$이며, 이는 $\\triangle ADC$의 밑변과 같습니다.
$\\triangle ABD$의 높이는 $BD$이며, 이는 $\\triangle ADC$의 높이와 같습니다.
따라서, $\\triangle ABD$의 넓이는 $\\frac{1}{2} \\times AD \\times BD = \\frac{1}{2} \\times AD \\times 4x = 24$입니다.
따라서, $AD \\times x = 12$입니다.
$DC = 3x$이므로, $\\triangle ADC$의 넓이는 $\\frac{1}{2} \\times AD \\times DC = \\frac{1}{2} \\times AD \\times 3x = \\frac{1}{2} \\times 12 \\times 3 = \\boxed{18}$ 제곱 센티미터입니다.
답은: 18"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $y$에 대해 풀어라: $3y+7y = 282-8(y-3)$.
###Response: "유사항을 결합하면, 우리는 $10y = 282-8y+24$를 얻는다.
더 간단하게 하면, 우리는 $10y = 306-8y$를 얻는다.
양쪽에 $8y$를 더하면, 우리는 $18y = 306$을 얻는다.
양쪽을 18로 나누면, 우리는 $y = \\boxed{17}$을 찾을 수 있다.
답은: 17"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 수식 $\\left\\lceil{\\frac54}\\right\\rceil+\\left\\lfloor{-\\frac54}\\right\\rfloor$를 평가하라.
###Response: 수학 문제 풀이에 꼭 필요한 영어 단어, \, %, #, $ 같이 문제 풀이에 필요하거나 번역하기 어려운 특수 기호는 번역하지 말고 그대로 출력해.
주어진 문장의 번역 결과만 출력하고 문장 양 끝의 작은 따옴표와 큰 따옴표는 출력하지 마.
사칙연산을 포함해서 모든 기호와 특수 문자는 번역하지 말고 그대로 출력해
다음을 번역하라 : 천장 함수 $\\lceil x \\rceil$은 $x$를 가장 가까운 정수로 올림하고,
바닥 함수 $\\lfloor x \\rfloor$은 $x$를 가장 가까운 정수로 내림한다.
따라서, $\\lceil 5/4 \\rceil = 2$이고 $\\lfloor -5/4 \\rfloor = -2$이다.
그리고 이 식은 $2 + (-2) = \\boxed{0}$으로 계산된다.
답은: 0
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: x의 어떤 값이 식을 만족시키는가: 2x + 4 = |-17 + 3|?
###Response: "먼저, 우변을 간단하게 정리합니다: $|-17+3|=|-14|=14$.
그래서 방정식은 $2x+4=14$가 됩니다.
양변에서 4를 빼면 $2x=10$이 되고, 양변을 2로 나누면 $x=\\boxed{5}$가 됩니다.
답은: 5"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 나탈리는 쇼핑을 하기 위해 $26을 가지고 있습니다. 그녀는 점퍼를 $9에, 티셔츠를 x에, 그리고 힐을 $5에 구매했습니다. 나탈리는 8의 돈을 남겼습니다. 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇입니까?
###Response: "이 문제를 해결하기 위해서는 나타내는 x의 값, 즉 나탈리가 산 티셔츠의 비용을 결정해야 합니다.
주어진 정보를 분석해보면:
나탈리가 가지고 있는 돈의 양: $26
점퍼의 비용: $9
티셔츠의 비용: x
구두 한 켤레의 비용: $5
나탈리가 남은 돈의 양: $8
우리는 다음과 같이 방정식을 세울 수 있습니다:
나탈리가 가지고 있는 돈의 양 - 점퍼의 비용 - 티셔츠의 비용 - 구두 한 켤레의 비용 = 나탈리가 남은 돈의 양
$26 - $9 - x - $5 = $8
간단하게 정리하고 x를 구해봅시다:
$26 - $14 - x = $8
x를 분리하기 위해 방정식 양변에 $12를 빼줍니다:
$26 - $14 - $12 - x = $8 - $12
$26 - $26 - x = $-4
-x = $-4
x를 구하기 위해 방정식 양변에 -1을 곱해줍니다:
x = $4
x의 값은 $4입니다.
#### 4
답은: 4"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: Cheryl는 1 컵의 페스토를 만들기 위해 4 컵의 바질이 필요합니다. 그녀는 매주 16 컵의 바질을 8 주 동안 농장에서 수확할 수 있습니다. 그녀는 얼마나 많은 컵의 페스토를 만들 수 있을까요?
###Response: "Cheryl는 매주 8주 동안 16 컵의 바질을 수확할 수 있으므로 총 16 x 8 = 128 컵의 바질을 가지게 됩니다.
1 컵의 페스토를 만들기 위해서는 Cheryl는 4 컵의 바질이 필요하므로, 그녀는 128 / 4 = 32 컵의 페스토를 만들 수 있게 됩니다.
#### 32
답은: 32"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 제임스가 비행기 연료 탱크를 두 배로 늘린 후 연료 가격이 20% 상승하였을 때, 이제 비행기를 충전하기 위해 얼마를 내야 하는가? 이전에는 탱크를 채우는 데 $200이 들었다고 가정할 때, 필요한 금액은 얼마인가?
###Response: "제임스가 그의 탱크의 연료 용량을 두 배로 늘렸다면, 이제 원래 용량의 2배를 가지게 됩니다.
만약 탱크를 다시 채우는데 드는 원래 비용이 $200이었다면, 새로 채우는 비용은 2배인 $200 = $400이 됩니다.
연료 가격이 20% 상승하면, 새로 채우는 비용은 $400 + 20%의 $400이 됩니다.
$400의 20%는 0.20 * $400 = $80입니다.
그래서, 새로 채우는 비용은 $400 + $80 = $480입니다.
그러므로, 제임스는 이제 그의 비행기를 채우기 위해 $480을 지불해야 합니다.
따라서, 답은: 480입니다."
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 임시 에이전시의 전체 구직자 중 20%는 Excel 경험이 있습니다. 70%의 구직자들은 낮 근무만 할 의사가 있습니다. 매니저가 임의로 구직자를 선택할 때, 그들이 Excel을 알고 밤 근무를 할 의사가 있는 확률은 얼마입니까?
###Response: "만약 지원자들 중 20%가 Excel을 알고 있다면, 100% - 20% = 80%는 Excel을 알지 못한다.
만약 지원자들 중 70%가 주간 근무만 할 의사가 있다면, 100% - 70% = 30%는 야간 근무를 할 의사가 있다.
Excel을 알고 야간 근무를 할 의사가 있는 지원자의 확률을 찾기 위해서는 이 두 그룹의 교집합을 찾아야 한다.
20%와 30%의 교집합은 20% x 30% = 6%이다.
따라서, Excel을 알고 야간 근무를 할 의사가 있는 지원자의 확률은 6%이다.
#### 6
답은: 6"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 승철이는 A쪽짜리 문제집을 사서 전체의 (4/7)를 풀었습니다. 문제집을 모두 풀려면 90쪽을 더 풀어야 합니다. A의 값을 구하시오.
###답변: 답은 210이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 어머니의 생일 파티에 총 60명의 손님이 있었다면, 그 중 절반은 여성이고 15명은 남성이며 나머지는 아이들이었다면, 남성의 1/3과 아이 5명이 떠난 후에 몇 명이 남아서 파티를 즐겼는가?
###Response: "반 이상의 손님들은 여성이었기 때문에 축하 파티에는 여성이 60/2 = 30명이 있었습니다.
축하 파티에는 남성이 15명이 있었습니다.
나머지 손님들은 아이들이었기 때문에 축하 파티에는 60 - 30 - 15 = 15명의 아이들이 있었습니다.
남성 중 1/3이 떠났기 때문에 1/3 * 15 = 5명의 남성이 떠났습니다.
추가로, 5명의 아이들이 떠났습니다.
그래서, 5명의 남성 + 5명의 아이들 = 10명이 축하 파티를 떠났습니다.
축하 파티에 남아서 즐기는 사람들의 수는 60 - 10 = 50명입니다.
#### 50
답은: 50"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 원 A의 지름은 20센티미터이고 원 B의 지름은 원 A의 반지름과 같다고 할때, 두 원의 반지름의 차는 몇 센티미터입니까?
###답변: 답은 5이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 딱지를 민주는 32장, 지훈이는 20장, 민정이는 8장을 가지고 있습니다. 딱지를 가장 적게 가지고 있는 사람은 누구입니까?
###답변: 답은 민정이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $a$와 $b$ 모두 양의 정수이고 $b > 1$이다. $a^b$가 399보다 작으면서 가장 큰 값일 때, $a$와 $b$의 합은 무엇인가?
###Response: "우리는 399보다 작은 가장 큰 값인 $a^b$를 찾고 싶습니다.
$a$와 $b$가 양의 정수이므로, 우리는 399보다 작은 가장 큰 완전 제곱수인 $19^2 = 361$을 찾을 수 있습니다.
그 다음, 우리는 399보다 작은 $19$의 가장 큰 거듭제곱수를 찾고 싶습니다. 우리는 $19^2 = 361$과 $19^3 = 6859$를 가지고 있으므로, 399보다 작은 $19$의 가장 큰 거듭제곱수는 $19^2 = 361$입니다.
따라서, $a = 19$이고 $b = 2$이며, $a$와 $b$의 합은 $19 + 2 = \\boxed{21}$입니다.
답은: 21"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 수학 문제 풀이에 꼭 필요한 영어 단어, \, %, #, $ 같이 문제 풀이에 필요한 특수 기호들은 번역하지 말고 그대로 출력해.
식 $\\lfloor0.999\\rfloor+\\lceil2.001\\rceil$의 값은 무엇인가?
###Response: "0.999 이하의 가장 큰 정수는 $0$이므로 $\\lfloor0.999\\rfloor = 0$이다.
2.001 이상의 가장 작은 정수는 $3$이므로 $\\lceil2.001\\rceil = 3$이다.
따라서, $\\lfloor0.999\\rfloor+\\lceil2.001\\rceil = 0 + 3 = \\boxed{3}$이다.
답은: 3"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $\frac{5}{7}$의 십진법 확장에서 가장 작은 반복 블록은 몇 자리수를 포함하고 있나요?
###Response: "우리가 $5$를 $7$로 나누면, 반복 소수 $0.\\overline{714285}$를 얻는다.
이 소수 확장에서 가장 작은 반복 블록은 $714285$이고,
이는 $\\boxed{6}$ 자리를 포함한다.
답은: 6"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 제이슨은 다음 8월에 떠날 휴가를 위해 저축을 시작하려고 한다. 그는 15개월이 남았다. 그는 $3,000.00을 저축하려고 한다. 한 달에 2번 받는다면 휴가를 위해 충분한 금액을 저축하기 위해 한 달에 얼마의 돈을 저축해야 할까?
###Response: "8월까지 15개월 남았고, 만약 그가 한달에 2번 받는다면, 그의 휴가 전까지 총 15 x 2 = 30번의 급여를 받게 될 것이다.
그는 총 $3,000.00을 저축하려고 하기 때문에, 그는 매달 $3,000.00 / 30번의 급여 = $100.00씩 저축해야 한다.
따라서, 그는 휴가를 위해 충분한 돈을 저축하기 위해 매달 $100.00씩 저축해야 한다.
#### 100
답은: 100"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $f(x) = ax^3 - 6x^2 + bx - 5$가 $x - 1$로 나누어질 때, 나머지는 $-5$이다. $f(x)$가 $x + X$로 나누어질 때 나머지는 $-53$이다. 순서쌍 $(a,b)$의 값은 무엇인가? 4. 알 수 없는 변수 X의 값은 무엇인가?
###Response: 이 문제를 해결하기 위해서는 다항 함수 $f(x) = ax^3 - 6x^2 + bx - 5$에서 a와 b의 값을 찾아야 한다.
우선, $f(x)$를 $x - 1$로 나누어 보자. $f(x)$를 $x - 1$로 나누면 나머지는 $-5$이다. 이는 $f(1) = -5$를 의미한다.
함수 $f(x)$에 $x = 1$을 대입하면 다음과 같다:
$-5 = a(1)^3 - 6(1)^2 + b(1) - 5$
간단하게 정리하면:
$-5 = a - 6 + b - 5$
항을 묶으면:
$-5 = a + b - 11$
이제 $f(x)$를 $x + X$로 나누어 보자. $f(x)$를 $x + X$로 나누면 나머지는 $-53$이다. 이는 $f(-X) = -53$을 의미한다.
함수 $f(x)$에 $x = -X$를 대입하면 다음과 같다:
$-53 = a(-X)^3 - 6(-X)^2 + b(-X) - 5$
간단하게 정리하면:
$-53 = -aX^3 - 6X^2 - bX - 5$
이제 이 식에서 $a + b - 11$을 $-5$로 대체하자:
$-53 = -aX^3 - 6X^2 - bX - 5$
$-53 = -aX^3 - 6X^2 - bX - (a + b - 11)$
간단하게 정리하면:
$-53 = -aX^3 - 6X^2 - bX - a - b + 11$
항을 묶으면:
$-53 = -aX^3 - 6X^2 - bX - a - b + 11$
$-53 = -aX^3 - 6X^2 - bX - a - b + 11$
$-64 = -aX^3 - 6X^2 - bX - a - b$
이 시점에서 우리는 방정식의 체계를 가지고 있다:
$-5 = a + b - 11$
$-64 = -aX^3 - 6X^2 - bX - a - b$
우리는 이 방정식의 체계를 사용하여 a와 b의 값을 찾을 수 있다.
아쉽게도, 우리는 a와 b를 찾기에 충분한 정보를 가지고 있지 않다. 우리는 두 개의 방정식과 세 개의 미지수 (a, b, X)를 가지고 있기 때문에 추가적인 방정식이 필요하다.
그러므로, 우리는 a와 b의 값을 결정할 수 없으며, 주어진 정보로부터 순서쌍 (a, b)를 찾을 수 없다.
알 수 없는 변수 x의 값은 이 문제에서 적용되지 않는다.
답은: 2
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 학년에는 x일의 학교일이 있습니다. Aliyah는 점심을 반 배 준비합니다. Becky는 Aliyah의 절반만큼 점심을 준비합니다. Becky는 매년 몇 일 점심을 준비합니까?
만약 우리가 위의 질문의 답이 45라는 것을 안다면, 알 수 없는 변수 x의 값은 얼마입니까?
###Response: "알리야는 점심을 반이나 준비하는데, 이는 x/2일 동안 점심을 준비한다는 것을 의미합니다.
베키는 알리야의 절반만큼만 점심을 준비하는데, 이는 (1/2)*(x/2) = x/4일 동안 점심을 준비한다는 것을 의미합니다.
베키가 점심을 준비하는 총 일수는 x/4입니다.
우리는 베키가 점심을 준비하는 총 일수가 45일이라는 것을 알고 있으므로, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: x/4 = 45.
양쪽에 4를 곱하면, 우리는 x = 180을 얻습니다.
x의 값은 180입니다.
#### 180
답은: 180"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 배열의 첫 $20$개의 숫자가 아래에 표시되어 있습니다. 배열이 계속되면 $40^{\\mathrm{th}}$ 숫자의 값은 얼마일까요?
$\\bullet$ 첫 번째 행: $2,$ $2$
$\\bullet$ 두 번째 행: $4,$ $4,$ $4,$ $4$
$\\bullet$ 세 번째 행: $6,$ $6,$ $6,$ $6,$ $6,$ $6$
$\\bullet$ 네 번째 행: $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ X $8, 이 값은 12입니다. 알 수 없는 변수 X의 값은 얼마인가요?
###Response: "이 문제를 해결하기 위해서는 x의 값을 결정해야 합니다. 이 값은 배열에서 40번째 숫자의 값입니다.
주어진 배열에서 각 행은 반복되는 숫자로 이루어져 있으며, 각 행마다 숫자가 2씩 증가합니다.
행 1: 2
행 2: 4
행 3: 6
행 4: 8
우리는 각 행의 숫자가 해당 행의 번호와 동일한 횟수만큼 반복된다는 패턴을 알 수 있습니다.
행 1: 2 (2번 반복)
행 2: 4 (4번 반복)
행 3: 6 (6번 반복)
행 4: 8 (8번 반복)
40번째 숫자의 값은 몇 번째 행에 속하는지를 결정하고 그 행에서 숫자를 찾아야 합니다.
각 행의 숫자를 더해보고 40번째 숫자의 위치와 비교할 수 있습니다.
행 1: 2 (합계 = 2)
행 2: 4 + 4 = 8 (합계 = 8)
행 3: 6 + 6 + 6 = 18 (합계 = 18)
행 4: 8 + 8 + 8 + 8 = 32 (합계 = 32)
첫 세 행의 숫자 합계가 40보다 작기 때문에, 40번째 숫자는 네 번째 행에 있을 것입니다.
네 번째 행에서 숫자는 8이며, 이 숫자는 8번 반복됩니다. 40번째 숫자가 네 번째 행에서 마지막 숫자이기 때문에, 숫자 8의 8번째 반복이 됩니다.
따라서, 40번째 숫자의 값은 8입니다.
x의 값은 8입니다.
답은: 8"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 에릭이 6 'points'를 가지고 있고, 마크는 에릭보다 50% 더 많은 'points'를 가지며, 사만타는 마크보다 8 'points'를 더 가지고 있다면, 사만타, 마크, 그리고 에릭이 가지고 있는 'points'의 총합은 얼마인가?
###Response: "에릭이 6점을 가지고 있다면, 마크는 에릭보다 50% 더 많은 점수를 가지고 있으며, 이는 6 * 0.5 = 3점이 더 많은 점수이다.
그래서 마크는 6 + 3 = 9점을 가지고 있다.
사만타는 마크보다 8점을 더 가지고 있으므로, 사만타는 9 + 8 = 17점을 가지고 있다.
사만타, 마크, 에릭이 가지고 있는 총 점수는 6 + 9 + 17 = 32점이다.
#### 32
답은: 32점"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 아마야는 예술에서 얻은 점수보다 수학에서 20 점 더 적게 획득했습니다. 그녀는 음악에서 얻은 점수보다 사회 과학에서 10 점 더 많이 얻었습니다. 만약 그녀가 음악에서 70 점을 받았고 수학에서 1/10 덜 받았다면, 그녀가 모든 과목에서 얻은 총 점수는 얼마일까요?
###Response: "아마야는 음악에서 70점을 받았다.
수학에서는 1/10 덜 받았으므로, 70 - (1/10 * 70) = 70 - 7 = 63점을 받았다.
예술에서는 수학보다 20점을 더 받았기 때문에, 63 + 20 = 83점을 받았다.
사회 과학에서는 음악보다 10점을 더 받았기 때문에, 70 + 10 = 80점을 받았다.
모든 과목에서 받은 총 점수는 70 + 63 + 83 + 80 = 296점이다.
#### 296
답은: 296점입니다."
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 안젤라는 12월에 매일 밤 6.5시간 잠을 잤다. 그녀는 더 많은 수면을 취해야 한다고 결심하고 1월에는 매일 밤 8.5시간 잠을 자기 시작했다. 1월에 안젤라가 얼마나 더 많은 수면을 취했나?
###Response: "12월에는 앤젤라가 매일 밤 6.5시간을 자고 총 6.5 * 31 = 201.5 시간을 잤습니다.
1월에는 앤젤라가 매일 밤 8.5시간을 자고 총 8.5 * 31 = 263.5 시간을 잤습니다.
12월과 1월 사이의 수면 차이는 263.5 - 201.5 = 62 시간입니다.
따라서 앤젤라는 1월에 62시간 더 많은 수면을 취했습니다.
#### 62
답은: 62"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 우진이가 읽으려고 하는 소설책은 140쪽, 위인전은 120쪽입니다. 소설책은 하루에 20쪽씩, 위인전은 10쪽씩 읽는다면 3일 동안 읽었을 때에 읽지 않은 쪽수는 어느 책이 더 많습니까?
###답변: 답은 위인전이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 하비어는 봄방학 때 디즈니랜드에 갈 예정이며, 점심 전에 네 가지 특정한 랜드마크를 방문하고 싶다. 그의 방문 순서를 정확히 한 번씩 모두 방문하는 경우는 몇 가지가 있을까?
###Response: "하비에르는 $4!$ (네 팩토리얼) 다른 순서로 관광지를 방문할 수 있으며, 이는 $4\\times 3\\times 2\\times 1 = \\boxed{24}$와 같습니다.
답은: 24"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 라시는 토요일에 자신의 뼈의 x%를 먹었습니다. 일요일에 그녀는 뼈를 10개 더 받았습니다. 그녀는 이제 총 35개의 뼈를 가지고 있습니다. 토요일에 그녀는 그들을 먹기 전에 50개의 뼈로 시작했습니다. 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇입니까? 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇입니까?
###Response: "이 문제를 해결하기 위해서는 영어 단어, \, %, #, $와 같은 특수 기호는 그대로 출력하고, x의 값, 즉 Lassie가 토요일에 먹은 뼈의 백분율을 결정해야 합니다.
우선, 주어진 정보를 살펴보겠습니다:
Lassie가 시작했을 때의 뼈 개수: 50
토요일에 Lassie가 먹은 뼈의 개수: (x/100) * 50
일요일에 Lassie가 받은 뼈의 개수: 10
현재 Lassie가 가지고 있는 뼈의 총 개수: 35
우리는 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:
Lassie가 시작했을 때의 뼈 개수 - 토요일에 Lassie가 먹은 뼈의 개수 + 일요일에 Lassie가 받은 뼈의 개수 = 현재 Lassie가 가지고 있는 뼈의 총 개수
50 - (x/100) * 50 + 10 = 35
간단하게 정리하고 x에 대해 풀어보겠습니다:
50 - (x/100) * 50 + 10 = 35
x를 분리하기 위해 양변에서 60을 빼줍니다:
50 - (x/100) * 50 + 10 - 60 = 35 - 60
- (x/100) * 50 = -25
x를 구하기 위해 양변을 -50/100으로 나눠줍니다:
- (x/100) * 50 / -50/100 = -25 / -50/100
x/100 = 0.5
x를 구하기 위해 양변을 100으로 곱해줍니다:
x/100 * 100 = 0.5 * 100
x = 50
x의 값은 50입니다.
#### 50
답은: 50"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 154와 252의 최대공약수를 구하라.
###Response: "우리는 최대공약수를 결정하기 위해 154와 252의 소인수분해를 찾을 수 있습니다.
154의 소인수분해는 $2 \\cdot 7 \\cdot 11$입니다.
252의 소인수분해는 $2^2 \\cdot 3^2 \\cdot 7$입니다.
최대공약수를 찾기 위해서는 공통된 소수인수를 가장 작은 지수로 제곱한 값을 곱합니다.
이 경우에, 최대공약수는 $2 \\cdot 7 = \\boxed{14}$입니다.
답은: 14"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 2007을 25로 나누었을 때 나머지는 무엇인가?
###Response: "우리는 2007을 25로 나누어 몫이 80이고 나머지가 $\\boxed{7}$인 값을 얻을 수 있습니다.
답은: 7"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 25미터의 와이어 한 묶음의 무게는 x kg이다. 75미터의 묶음은 15kg이다. 미지수 x의 값은 얼마인가? 미지수 x의 값은 얼마인가?
###Response: 이 문제를 해결하기 위해서는 x의 값, 즉 25m의 철사 무게를 킬로그램 단위로 결정해야 합니다.
우리는 75m의 철사 무게가 15kg임을 알고 있습니다.
우리는 비례식을 설정하여 25m의 철사 무게를 찾을 수 있습니다:
75m의 철사 무게 / 75m의 길이 = 25m의 철사 무게 / 25m의 길이
15kg / 75m = x kg / 25m
간단하게 정리하고 x를 찾아봅시다:
(15/75) kg = x/25m
1/5 kg = x/25m
x를 찾기 위해, 우리는 방정식의 양쪽에 25를 곱합니다:
(1/5) kg * 25m = x
5kg = x
x의 값은 5kg입니다.
답은: 5
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 서영이네 반 학생은 남학생이 20명, 여학생이 16명이고 그중에서 안경을 쓴 학생은 13명입니다. 서영이네 반 학생들 중에 안경을 쓰지 않는 학생은 몇 명일까요?
###답변: 답은 23이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 배의 선원은 17명의 선원으로 구성되어 있었고, 그 중 5명은 경험이 없는 선원들이었다. 각 경험 많은 선원은 경험 없는 선원보다 1/5배 더 많은 금액을 받았다. 만약 경험 없는 선원들이 주당 60시간 일한 경우 시간당 $10을 받았다면, 경험 많은 선원들의 총 월급을 계산하라.
###Response: "경험이 부족한 선원들이 60시간 근무 주당 $10를 받는다면, 그들은 주당 $10 * 60 = $600을 벌게 됩니다.
한 달에는 $600 * 4 = $2400을 벌게 됩니다.
경험이 부족한 선원이 5명이므로, 그들의 총 월급은 $2400 * 5 = $12,000이 됩니다.
만약 경험이 있는 선원들이 경험이 부족한 선원들의 1/5배를 받는다면, 그들은 주당 $10 * 1/5 = $2를 더 받게 됩니다.
따라서 경험이 있는 선원들은 $10 + $2 = $12를 시간당 받게 됩니다.
60시간 근무 주간에는, 그들은 주당 $12 * 60 = $720을 벌게 됩니다.
한 달에는 $720 * 4 = $2880을 벌게 됩니다.
총 17명의 선원들 중 5명이 경험이 부족하므로, 경험이 있는 선원들은 17 - 5 = 12명이 됩니다.
따라서 경험이 있는 선원들의 총 월급은 $2880 * 12 = $34,560이 됩니다.
답은: 34560"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 제리는 아침에 일어나서 온도계가 40도로 설정되어 있는 것을 발견한다. 그는 초기 온도의 두 배로 설정한다. 그의 아빠는 제리를 혼나고 온도를 30도 낮춘다. 나중에 제리의 엄마는 온도를 30% 낮추고, 그의 여동생은 24도 더 높인다. 최종 온도는 얼마인가?
###Response: "제리는 처음에 온도를 두 배로 설정하며, 이는 40 x 2 = 80도로 설정한다는 것을 의미한다.
그의 아버지는 이후 온도를 30도 감소시키므로, 이는 80 - 30 = 50도가 된다.
제리의 어머니는 이후 온도를 30% 감소시키며, 이는 50 x 0.30 = 15도를 감소시킨다는 의미이다.
따라서 온도는 50 - 15 = 35도가 된다.
마지막으로, 제리의 여동생은 온도를 24도 증가시키므로, 이는 35 + 24 = 59도가 된다.
#### 59
답은: 59"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 데즈먼드 씨는 그의 어린 아들을 위해 그의 연장자 아들에게 사주는 것과 같은 수의 장난감을 3배로 많이 샀습니다. 만약 연장자 아들이 60개의 장난감을 받았다면, 데즈먼드 씨는 몇 개의 장난감을 샀습니까?
###Response: "어떤 아들이 60개의 장난감을 받았고, 데스몬드씨는 어린 아들에게 매우 많은 장난감을 사기 위해 그의 어린 아들에게 그의 어른 아들에게 사는 것의 3배 만큼을 사기로 결정했다면, 어린 아들은 60 * 3 = 180개의 장난감을 받게 된다.
따라서, 데스몬드씨는 총 60 + 180 = 240개의 장난감을 샀다.
답은: 240"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 마이클라가 배부르기 위해 20개의 오렌지가 필요하다면, 카산드라는 마이클라의 2배만큼의 오렌지가 필요하다. 만약 그들이 오늘 농장에서 90개의 오렌지를 따면, 그들이 둘 다 배부를 때까지 먹은 후에는 얼마나 많은 오렌지가 남을까?
###Response: 마이클라는 20개의 오렌지가 필요해요.
카산드라는 마이클라의 두 배인 20 * 2 = 40개의 오렌지가 필요해요.
함께하면 20 + 40 = 60개의 오렌지가 필요해요.
오늘 농장에서 90개의 오렌지를 따서, 두 사람이 모두 배불리 먹을 때까지 남은 오렌지는 90 - 60 = 30개가 될 거예요.
#### 30
답은: 30
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 타미카는 평균 45마일의 속도로 x시간 동안 운전했습니다. 로건은 5시간 동안 55마일의 속도로 운전했습니다. 타미카가 더 멀리 운전한 거리는 몇 마일일까요?
만약 위 질문의 답이 85라면, 알 수 없는 변수 x의 값은 얼마인가요?
###Response: "우리는 Tamika가 평균 속도 45마일로 x시간 동안 운전했다는 것을 알고 있습니다. 이는 그녀가 45x 마일을 여행했다는 것을 의미합니다.
Logan은 5시간 동안 평균 속도 55마일로 운전했으며, 이는 그가 55 * 5 = 275 마일을 여행했다는 것을 의미합니다.
Tamika가 더 멀리 운전한 거리를 알기 위해, 우리는 Logan이 운전한 거리를 Tamika가 운전한 거리에서 빼면 됩니다: 45x - 275.
우리는 거리의 차이가 85마일이라는 것을 알고 있으므로, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: 45x - 275 = 85.
양쪽에 275를 더하면, 우리는 다음을 얻습니다: 45x = 360.
양쪽을 45로 나누면, 우리는 다음을 얻습니다: x = 8.
x의 값은 8입니다.
#### 8
답은: 8"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 미국은 매년 약 5.5백만 톤의 사과를 생산합니다. 이 중 $20\\%$는 다른 제품과 혼합되며, 나머지 $50\\%$는 사과 주스로 사용되고 나머지 $50\\%$는 신선하게 판매됩니다. 사과 주스에 사용되는 백만 톤의 사과는 몇 톤인가요? 답을 소수점 첫째 자리까지 표현하세요.
###Response: "5.5백만 톤 중 $20\\%$는 $0.2 \\cdot 5.5 = 1.1$백만 톤입니다. 혼합 후 나머지는 $5.5 - 1.1 = 4.4$백만 톤입니다. 4.4백만 톤 중 $50\\%$는 $0.5 \\cdot 4.4 = 2.2$백만 톤입니다. 따라서, 2.2백만 톤의 사과가 사과 주스를 만드는 데 사용되었습니다. 답은: 2.2"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 반지름이 10cm인 두 원이 서로 중심을 지나가며 겹쳐져 있을 때, 두 원의 공통된 화곡선(점선으로 표시된 선분)의 길이는 몇 cm인가? 답은 가장 간단한 라디칼 형태로 표현하시오.
###Response: "원의 중심은 20 cm 떨어져 있으며, 이는 공통 코드의 길이와 같습니다.
공통 코드는 10 cm 길이의 직각 삼각형의 빗변이기도 합니다.
피타고라스의 정리를 사용하여 공통 코드의 길이를 찾을 수 있습니다.
$20^2=10^2+x^2$
$400=100+x^2$
$x^2=300$
$x=10\\sqrt{3}$
따라서, 공통 코드의 길이는 $\\boxed{10\\sqrt{3}}$ cm입니다.답은: 10\\sqrt{3}"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $888$로 끝나는 가장 작은 양의 정수를 찾아라.
###Response: "우리는 $n^3 \\equiv 888 \\pmod{1000}$을 만족하는 정수 $n$을 찾고 싶습니다.
$n$의 마지막 세 자리를 고려하여 $n^3 \\pmod{1000}$을 찾을 수 있습니다.
$n^3$은 $2$ 또는 $8$로 끝나야 합니다. 왜냐하면 $2^3 = 8$이고 $8^3 = 512$이 $2$로 끝나기 때문입니다.
그러므로, 우리는 마지막 세 자리가 $2$ 또는 $8$로 끝나는 가장 작은 양수 $n$을 찾습니다.
우리는 $n = 12$로 시작해서 $n^3 = 1728$을 계산합니다.
$1728$은 $728$로 끝나는데, 이는 우리가 원하는 $888$이 아니기 때문에 다음 정수인 $n = 22$를 시도합니다.
$n^3 = 10648$을 계산하면, $10648$은 $648$로 끝납니다.
이 과정을 계속하면, $n = \\boxed{192}$가 $888$로 끝나는 가장 작은 양수 정수입니다.
답은: 192"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 세 명의 친구가 은행에서 번호표를 뽑았습니다. 영수는 510, 진수는 498, 민아는 514를 뽑았을 때 누가 가장 먼저 번호표를 뽑았습니까?
###답변: 답은 진수이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 제임스는 모든 셔츠와 바지를 고치기 위해 재봉사를 고용합니다. 그는 셔츠 10장과 바지 12벌을 가지고 있습니다. 셔츠를 고치는 데에는 1.5시간이 걸리고 바지는 그의 두 배의 시간이 걸립니다. 재봉사는 시간당 $30을 청구합니다. 비용은 얼마입니까?
###Response: "셔츠를 고치는 데 1.5 시간이 걸리기 때문에 모든 셔츠를 고치는 데는 1.5 x 10 = 15 시간이 걸릴 것입니다.
바지를 고치는 데는 셔츠를 고치는 데의 두 배의 시간이 걸리므로, 한 쌍의 바지를 고치는 데는 1.5 x 2 = 3 시간이 걸립니다.
모든 바지를 고치는 데는 3 x 12 = 36 시간이 걸릴 것입니다.
총 고치는 데는 셔츠와 바지를 합치면 15 + 36 = 51 시간이 걸립니다.
재단사는 시간당 $30를 청구하므로, 총 비용은 51 x $30 = $1530이 될 것입니다.
답은: 1530"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 1학년 배구 선수 5명과, 2학년 배구 선수 6명 중에서 2학년 2명과 1학년 1명을 대표 선수로 선발하고, 1학년 1명을 예비 선수로 선발하는 방법은 총 몇 가지인가?
###답변: 답은 300이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $f(x) = x^3 + 3$이고 $g(x) = 2x^2 + 2x + 1$일 때, $g(f(-2))$의 값을 계산하라.
###Response: "첫째, 우리는 $f(-2) = (-2)^3 + 3 = -8 + 3 = -5$를 찾습니다.
그 다음, 우리는 이 값을 $g(x)$에 대입하여 $g(f(-2)) = g(-5) = 2(-5)^2 + 2(-5) + 1 = 2(25) - 10 + 1 = 50 - 10 + 1 = \\boxed{41}$을 얻습니다.
답은: 41"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 판매를 중단하고 모든 재고를 판매하기로 결정한 후, 2000가지 다른 품목을 가진 가게는 일반적으로 $50씩 판매되는 품목들을 80% 할인하여 제공하기로 결정했다. 그들은 품목의 90%를 판매하고 채권자들에게 $15000의 빚이 있다. 판매 후 남은 돈은 얼마인가?
###Response: "가게에는 2000 개의 물품이 있으며 그들은 그 중 90%를 판매하는데 성공했기 때문에 2000 * 90% = 1800 개의 물품을 판매합니다.
각 물품의 소매 가격은 $50이며, 따라서 물품의 총 가치는 1800 * $50 = $90000입니다.
그들은 80%의 할인을 제공하므로 각 물품의 할인 가격은 $50 * 20% = $10입니다.
물품 판매로부터의 총 수익은 1800 * $10 = $18000입니다.
그들은 채무자에게 $15000의 빚이 있으므로, 남은 금액은 $18000 - $15000 = $3000입니다.
#### 3000
답은: 3000"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 반지름이 10 인치이고 높이가 15 인치인 원통형 통을 반지름이 10 인치인 반구 모양의 양동이를 사용하여 채우려면 브래드는 우물로 여러 번 가야합니다. 브래드는 통을 채우기 위해 몇 번의 여행을 해야합니까?
###Response: "원통 모양의 배럴의 부피는 $\\pi r^2 h = \\pi (10^2)(15) = 1500\\pi$ 입방인치입니다.
반구 모양의 버킷의 부피는 $\\frac{2}{3}\\pi r^3 = \\frac{2}{3}\\pi (10^3) = \\frac{2000}{3}\\pi$ 입방인치입니다.
브래드가 여러 번의 여행을 해야하므로, 우리는 배럴의 부피를 버킷의 부피로 나누어 여행 횟수를 찾습니다: $\\frac{1500\\pi}{\\frac{2000}{3}\\pi} = \\frac{1500}{\\frac{2000}{3}} = \\frac{1500}{\\frac{2000}{3}} \\times \\frac{3}{3} = \\frac{4500}{2000} = \\frac{9}{4}$.
브래드는 여행의 일부분을 할 수 없으므로, 배럴을 채우기 위해 $\\boxed{3}$ 번의 여행이 필요합니다.
답은: 3"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 영주, 현수, 민수, 기영이가 토마토를 땄습니다. 영주는 76개, 현수는 73개, 민수는 98개, 기영이는 79개의 토마토를 땄을 때 가장 적은 토마토를 딴 사람은 누구입니까?
###답변: 답은 현수이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 5일 동안, 샹텔은 매일 x개의 우정 팔찌를 만듭니다. 그녀는 학교에서 친구들에게 3개의 팔찌를 선물합니다. 그 다음 4일 동안, 그녀는 매일 3개의 우정 팔찌를 만듭니다. 그리고 그녀는 축구 연습에서 친구들에게 6개의 팔찌를 선물합니다. 샹텔이 최종적으로 얼마나 많은 팔찌를 가지고 있을까요?
만약 우리가 위의 질문의 답이 13이라는 것을 알고 있다면, 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇인가요?
###Response: "5일 동안, 샹텔은 하루에 x개의 우정 팔찌를 만들기 때문에 총 5x개의 팔찌를 만듭니다.
그녀는 학교에서 친구들에게 3개의 팔찌를 나눠줍니다. 그래서 그녀는 5x - 3개의 팔찌가 남게 됩니다.
4일 동안, 그녀는 하루에 3개의 우정 팔찌를 만들기 때문에 총 4 * 3 = 12개의 팔찌를 만듭니다.
그녀는 축구 연습에서 친구들에게 6개의 팔찌를 나눠줍니다. 그래서 그녀는 12 - 6 = 6개의 팔찌가 남게 됩니다.
최종적으로 샹텔이 가지고 있는 팔찌의 총 수는 어떤 것을 나눠준 후 남은 팔찌의 합입니다: 5x - 3 + 6 = 5x + 3.
우리는 샹텔이 최종적으로 가지고 있는 팔찌의 총 수가 13이라는 것을 알고 있으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다: 5x + 3 = 13.
x를 구하기 위해, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: x = 2.
x의 값은 2입니다.
#### 2
답은: 2"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 킥커스와 스파이더스가 축구 경기에서 총 몇 골을 넣었는지, 킥커스가 첫 번째 절기에 2 골을 넣고 두 번째 절기에 그 양의 두 배를 넣었으며, 스파이더스는 킥커스가 첫 번째 절기에 넣은 양의 절반을 넣었고, 킥커스가 두 번째 절기에 넣은 양의 두 배를 넣었을 때, 총 몇 골을 넣었는지?
###Response: "킥커들은 첫 번째 쿼터에서 2 골을 득점했습니다.
그들은 두 번째 쿼터에서 그 양의 두 배인 4 골을 득점했으므로 2 x 2 = 4 골입니다.
총적으로, 킥커들은 2 + 4 = 6 골을 득점했습니다.
스파이더들은 첫 번째 쿼터에서 킥커들이 득점한 양의 반만큼을 득점했으므로 2/2 = 1 골입니다.
그들은 두 번째 쿼터에서 킥커들이 득점한 양의 두 배인 8 골을 득점했으므로 4 x 2 = 8 골입니다.
총적으로, 스파이더들은 1 + 8 = 9 골을 득점했습니다.
따라서, 킥커들과 스파이더들은 총 6 + 9 = 15 골을 득점했습니다.
#### 15
답은: 15"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 네이선은 게임장에 갔다. 그는 에어 하키 게임을 2번, 농구 게임을 4번 했다. 만약 각 게임이 3토큰씩 든다면, 그는 총 몇 토큰을 사용했을까?
###Response: "네이슨은 에어 하키 게임을 2번, 농구 게임을 4번 총 2 + 4 = 6번 플레이했으므로 총 6게임을 플레이했습니다.
각 게임은 3토큰이 들었기 때문에 총 네이슨은 6 * 3 = 18토큰을 사용했습니다.
#### 18
답은: 18"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 주어진 문장 : 영어 단어, \, %, #, $ 같이 문제 풀이에 필요한 특수 기호들은 그대로 출력되는, 변의 길이가 27야드인 정사각형 울타리로 둘러싸인 놀이터가 있습니다. 또한 놀이터 주변에는 x야드 x 9야드 크기의 정원이 울타리로 둘러쌓여 있습니다. 놀이터와 정원의 울타리 길이의 합은 얼마나 될까요?
위의 질문에 대한 답이 150일 경우, 알려지지 않은 변수 x의 값은 얼마인가요?
###Response: "놀이터는 한 변의 길이가 27야드인 정사각형 울타리로 둘러싸여 있으므로 놀이터의 둘레는 4 * 27 = 108야드입니다.
정원의 길이는 x야드이고 너비는 9야드이므로 정원의 둘레는 2 * (x + 9) = 2x + 18야드입니다.
놀이터와 정원의 울타리 총 길이는 둘레의 합입니다: 108 + (2x + 18) = 126 + 2x야드입니다.
총 울타리 길이가 150야드라고 가정하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다: 126 + 2x = 150.
x를 구하면, x = 12가 됩니다.
x의 값은 12입니다.
#### 12
답은: 12"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 매 주 Jaime는 x를 저축합니다. 매 두 주마다 그녀는 저축한 돈 중 $46을 그녀의 엄마와 함께 좋은 점심 식사에 사용합니다. 그녀는 $135를 저축하기 위해 5주가 걸립니다. 미지수 x의 값은 얼마입니까?
###Response: "이 문제를 해결하기 위해서는 주메이가 매주 저축하는 금액을 나타내는 x의 값을 결정해야 합니다.
우리는 매 두 주마다 46달러를 멋진 점심에 쓴다는 것을 알고 있으므로, 5주에는 5/2 * $46 = $115를 쓸 것입니다.
주메이는 5주 동안 135달러를 저축할 것이므로, 5주에 모두 저축한 금액은 $135 + $115 = $250입니다.
우리는 다음과 같이 방정식을 세울 수 있습니다:
매주 저축하는 금액 * 주 수 = 총 저축액
x * 5 = $250
x를 구하기 위해, 방정식 양 변을 5로 나눕니다:
x = $250 / 5
x = $50
x의 값은 $50입니다.
#### 50
답은: 50"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 아스톤은 우연히 만화책을 찢어서 모든 페이지를 다시 붙여야 합니다. 각 만화책은 25 페이지이며, 아스톤은 바닥에 x 페이지를 발견했습니다. 그는 만화책을 다시 붙이고 만화책 상자에 넣었습니다. 상자에 이미 5권의 찢어지지 않은 만화책이 있었다면, 상자에는 이제 11권의 만화책이 있습니다. 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇인가요? 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇인가요?
###Response: 이 문제를 해결하기 위해, 우리는 Aston이 바닥에서 찾은 찢어진 페이지의 수를 나타내는 x의 값을 결정해야 합니다.
우리는 각 만화책이 25 페이지를 가지고 있고, Aston은 바닥에서 x 페이지를 찾았습니다. 따라서, 그가 찾은 만화책의 수는 x/25입니다.
또한, 그가 찢어진 페이지를 찾기 전에 상자에는 이미 5개의 찢어지지 않은 만화책이 있었습니다. 따라서, 상자 안에 있는 총 만화책의 수는 x/25 + 5입니다.
이 문제는 지금 상자 안에 11개의 만화책이 있다고 명시하고 있으므로, 우리는 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:
x/25 + 5 = 11
간단하게 하고 x를 구하기 위해, 우리는 방정식의 양쪽에 25를 곱합니다:
x/25 = 11 - 5
x/25 = 6
x를 분리하기 위해, 우리는 방정식의 양쪽에 25를 곱합니다:
x = 6 * 25
x = 150
x의 값은 150입니다.
#### 150
답은: 150
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 5 (mod 11)과 일치하는 가장 작은 양의 세 자리 정수와 5 (mod 11)과 일치하는 가장 작은 양의 네 자리 정수의 차이는 무엇입니까?
###Response: "11로 나누었을 때 나머지가 5인 정수는 $11n + 5$ 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 $n$은 정수이다.
우리는 이 형태의 가장 작은 양의 세 자리 정수와 네 자리 정수를 찾고 싶다.
세 자리 정수의 경우, $11n + 5 = 100$이 되는데, 여기서 $n$은 정수이다.
$n$을 구하면, $n = \\frac{95}{11}$이다.
$n$이 정수이므로, $n$의 가장 작은 값은 8이고, 이를 대입하면 세 자리 정수는 $11(8) + 5 = 93$이 된다.
네 자리 정수의 경우, $11n + 5 = 1000$이 되는데, 여기서 $n$은 정수이다.
$n$을 구하면, $n = \\frac{995}{11}$이다.
$n$이 정수이므로, $n$의 가장 작은 값은 90이고, 이를 대입하면 네 자리 정수는 $11(90) + 5 = 995$이 된다.
이 두 정수의 차이는 $995 - 93 = \\boxed{902}$이다.
답은: 902"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $a$가 4의 배수이고 $b$가 X의 배수라고 가정하자. 다음 문장 중 참인 것은?
A. $a+b$는 짝수여야 한다.
B. $a+b$는 4의 배수여야 한다.
C. $a+b$는 8의 배수여야 한다.
D. $a+b$는 8의 배수가 될 수 없다.
정답을 알파벳 순서로 나열하여 쉼표로 구분하여 작성하시오. 예를 들어, 모두 참이라면 $\\text{A,B,C, D}$가 된다. 어떤 변수 X의 값이어야 할까?
###Response: 주어진 문장을 분석하고 참인 것을 결정해야 해.
문장 A: $a+b$는 짝수여야 한다.
$a$가 4의 배수이기 때문에 2로 나누어 떨어진다. 그리고 $b$에 대해서는 X의 배수라면 어떤 수든 될 수 있다. 따라서 합 $a+b$는 짝수일 수도 있고 아닐 수도 있다. 문장 A는 반드시 참이라고 할 수는 없다.
문장 B: $a+b$는 4의 배수여야 한다.
$a$가 4의 배수이기 때문에 항상 4로 나누어 떨어진다. 그리고 $b$에 대해서는 X의 배수라면 어떤 수든 될 수 있다. 따라서 합 $a+b$는 4의 배수일 수도 있고 아닐 수도 있다. 문장 B는 반드시 참이라고 할 수는 없다.
문장 C: $a+b$는 8의 배수여야 한다.
$a$가 4의 배수이기 때문에 8로 나누어 떨어진다. 하지만 $b$에 대해서는 어떤 정보도 없다. 따라서 합 $a+b$는 8의 배수일 수도 있고 아닐 수도 있다. 문장 C는 반드시 참이라고 할 수는 없다.
문장 D: $a+b$는 8의 배수가 될 수 없다.
$a$가 4의 배수이기 때문에 8로 나누어 떨어진다. 하지만 $b$에 대해서는 어떤 정보도 없다. 따라서 합 $a+b$는 8의 배수일 수도 있고 아닐 수도 있다. 문장 D는 반드시 참이라고 할 수는 없다.
위의 분석을 토대로, 주어진 문장 중 어느 것도 반드시 참이라고 할 수는 없다.
답은: 8
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: "\\cot X + \\tan 5"를 간단하게 해라.
정수로 평가된 삼각함수로 답을 입력해, 예를 들어 "sin 7"과 같이.
만약 위의 문제의 답이 \\csc10이라면, 미지수 X의 값은 얼마인가?
###Response: "우리는 식 $\\cot X + \\tan 5$가 주어졌고 이를 간단하게 만들기를 원합니다.
이 식을 간단하게 만들기 위해서는 삼각함수 항등식을 사용해야 합니다.
여기서 사용할 수 있는 항등식은:
$\\cot X = \\frac{1}{\\tan X}$
이 항등식을 사용하여 식을 다시 쓸 수 있습니다:
$\\frac{1}{\\tan X} + \\tan 5$
이제 두 항의 공통 분모를 찾을 수 있습니다. 이는 $\\tan X$입니다.
첫 번째 항을 $\\frac{\\tan X}{\\tan X}$로 곱하면 다음과 같이 됩니다:
$\\frac{1}{\\tan X} \\cdot \\frac{\\tan X}{\\tan X} = \\frac{\\tan X}{\\tan^2 X} = \\frac{\\tan X}{1} = \\tan X$
그러므로 식은 다음과 같이 간단해집니다:
$\\tan X + \\tan 5$
간단화된 식이 $\\csc 10$이라는 것을 고려하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
$\\tan X + \\tan 5 = \\csc 10$
이제 우리는 주어진 식을 간단화된 식과 비교하고 $X$의 값을 결정할 수 있습니다.
삼각함수 항등식 $\\csc \\theta = \\frac{1}{\\sin \\theta}$에서 간단화된 식을 다시 쓸 수 있습니다:
$\\frac{1}{\\sin 10}$
이를 주어진 식과 비교하면 다음과 같이 결론할 수 있습니다:
$X = 10$
따라서 $X$의 값은 10입니다.
답은: 10"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 카렌이 한 주에 2일은 랜덤하게 땅콩버터 샌드위치를, 나머지 3일은 햄 샌드위치를 포장하고, 그리고 랜덤하게 하루를 선택하여 케이크를 하나, 나머지 4일은 쿠키를 포장한다면, 햄 샌드위치와 케이크를 같은 날에 포장할 확률은 몇 퍼센트인가?
###Response: "카렌은 5일 중 2일에만 땅콩버터 샌드위치를 싸서, 어떤 날이든 땅콩버터 샌드위치를 싸는 확률은 2/5 또는 40%입니다. 카렌은 나머지 3일에는 햄 샌드위치를 싸서, 어떤 날이든 햄 샌드위치를 싸는 확률은 3/5 또는 60%입니다. 카렌은 5일 중 1일에만 케이크를 싸서, 어떤 날이든 케이크를 싸는 확률은 1/5 또는 20%입니다. 햄 샌드위치와 케이크를 같은 날 싸는 확률은 각각의 사건이 독립적으로 발생하는 확률의 곱이므로, (3/5) * (1/5) = 3/25 또는 12%입니다. 따라서, 카렌이 햄 샌드위치와 케이크를 같은 날 싸는 확률은 12%입니다."
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 원형 분수의 중심 $C$까지 걸어갈 수 있도록 하기 위해 수리 크루는 $A$에서 $B$로 16피트의 판자를 놓고, 그리고 $D$가 $\\overline{AB}$의 중점인 곳에서 $C$로 10피트의 판자를 놓습니다. 분수의 원형 밑면의 넓이는 얼마인가요? 답은 $\\pi$를 사용하여 표현하세요. [asy]
size(250); import olympiad; import geometry; defaultpen(linewidth(0.8));
draw((-10,0)..(-5,0.8)..(0,1)..(5,0.8)..(10,0)^^(10,0)..(5,-0.8)..(0,-1)..(-5,-0.8)..(-10,0));
draw((-10,0)--(-10,-2)^^(10,-2)..(5,-2.8)..(0,-3)..(-5,-2.8)..(-10,-2)^^(10,-2)--(10,0));
draw(origin..(-1,5)..(-4,8));
draw(origin..(1,5)..(4,8));
draw(origin..(-0.5,5)..(-2,8));
draw(origin..(0.5,5)..(2,8));
draw(origin..(-0.2,6)..(-1,10));
draw(origin..(0.2,6)..(1,10));
label("측면",(0,-2),3*S);
pair C = (25,8);
draw(Circle(C,10));
pair A = C + 10*dir(80);
pair B = C + 10*dir(20);
pair D = midpoint(A--B);
draw(A--B);
draw(C--D);
dot(Label("$A$",align=SW),A);
dot(Label("$B$",align=SE),B);
dot(Label("$C$",align=S),C);
dot(Label("$D$",align=S),D);
for(int i = 0; i < X; ++i){
draw(C--(C + 5*dir(72*i)));
}
label("위쪽",(25,-2), 3*S) = 164. 알 수 없는 변수 X의 값은 얼마인가요?
###Response: "칼리가 모은 별똥가리 5개의 수를 나타냅니다.
답은: 5입니다."
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 마이클은 아버지가 팔은 깊이의 두 배보다 400피트 덜 깊은 구멍을 파고 싶어한다. 아버지는 시간당 4피트의 속도로 구멍을 팠다. 아버지가 자신의 구멍을 판 시간을 x시간이라고 할 때, 마이클이 같은 속도로 작업할 때 두 배보다 400피트 덜 깊은 구멍을 파는 데 필요한 시간은 얼마인가?
만약 우리가 위 질문의 답이 700이라는 것을 안다면, 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇인가?
###Response: "우리는 아버지가 시간당 4피트의 속도로 구덩이를 파서 깊이가 4x피트인 구덩이를 파는 것을 알고 있습니다.
아버지의 구덩이의 두배인 깊이는 2 * 4x = 8x피트 입니다.
마이클은 아버지의 구덩이의 두배의 깊이보다 400피트 더 얕은 구덩이를 파고 싶어합니다. 이는 마이클이 깊이가 8x - 400피트인 구덩이를 파고 싶다는 것을 의미합니다.
아버지와 같은 속도로 일하면 마이클은 시간당 4피트의 속도로 일할 것입니다.
마이클이 구덩이를 파는 데 걸리는 시간을 알기 위해 우리는 다음 공식을 사용할 수 있습니다:
시간 = (구덩이의 깊이) / (속도)
"구덩이의 깊이"에 8x - 400을, "속도"에 4를 대입하면 다음과 같이 됩니다:
시간 = (8x - 400) / 4 = 2x - 100.
마이클이 구덩이를 파는 데 걸리는 시간이 700시간이라고 주어졌으므로, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: 2x - 100 = 700.
x를 구하기 위해, 우리는 다음과 같이 계산합니다: x = 400.
x의 값은 400입니다.
#### 400
답은: 400"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 트럼프 카드 한 벌에는 X 모양의 카드가 52장이 있고, 각 모양마다 13장씩 있다. 하트와 다이아몬드라 불리는 빨간색 카드 두 모양($\\heartsuit$와 $\\diamondsuit$)과 스페이드와 클럽이라 불리는 검은색 카드 두 모양($\\spadesuit$와 $\\clubsuit$)이 있다. 카드는 무작위로 섞여 있으며(일반적으로 `셔플링'이라 불리는 과정을 통해), 카드 덱에서 처음 뽑은 두 장의 카드가 모두 빨간색일 확률은 얼마인가? 만약 위 질문의 답이 \\frac{25}{102}라면, 알 수 없는 변수 X의 값은 얼마인가?
###Response: 우리는 주어진 상황에서 $X$의 값을 찾고 싶습니다.
우리는 표준 카드 덱에는 $X$ 개의 문양이 있고 각각 13장의 카드로 나누어져 있음을 알려줍니다.
또한 두 문양 ($\\heartsuit$와 $\\diamondsuit$)이 빨간색이고 다른 두 문양 ($\\spadesuit$와 $\\clubsuit$)이 검은색임을 알고 있습니다.
첫 두 장의 카드를 뽑았을 때 두 장 모두 빨간색일 확률을 찾기 위해서는 유리한 결과 (빨간색 두 장을 뽑는 경우)의 개수와 가능한 모든 결과 (두 장의 아무 카드나 뽑는 경우)를 고려해야 합니다.
유리한 결과의 개수는 26장의 빨간색 카드 중에서 2장을 선택하는 방법의 수로 계산할 수 있으며, 조합 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:
유리한 결과의 개수 = ${26 \\choose 2}$
가능한 모든 결과의 개수는 덱에 있는 52장의 카드 중에서 2장을 선택하는 방법의 수로 계산할 수 있으며, 조합 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:
가능한 모든 결과의 개수 = ${52 \\choose 2}$
따라서 확률은 유리한 결과의 개수를 가능한 모든 결과의 개수로 나눈 값과 같습니다:
확률 = $\\frac{{26 \\choose 2}}{{52 \\choose 2}}$
확률이 $\\frac{25}{102}$라는 것을 고려하면 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:
$\\frac{{26 \\choose 2}}{{52 \\choose 2}} = \\frac{25}{102}$
조합을 확장하여 방정식을 단순화하면 다음과 같습니다:
$\\frac{\\frac{26!}{2!(26-2)!}}{\\frac{52!}{2!(52-2)!}} = \\frac{25}{102}$
더 단순화하면 다음과 같습니다:
$\\frac{\\frac{26!}{2!24!}}{\\frac{52!}{2!50!}} = \\frac{25}{102}$
공통된 항목을 제거하면 다음과 같습니다:
$\\frac{\\frac{26 \\cdot 25}{2}}{\\frac{52 \\cdot 51}{2}} = \\frac{25}{102}$
$\\frac{26 \\cdot 25}{52 \\cdot 51} = \\frac{25}{102}$
서로 곱하여 교차하면 다음과 같습니다:
$26 \\cdot 25 \\cdot 102 = 52 \\cdot 51 \\cdot 25$
25로 나누어 양변을 나누면 다음과 같습니다:
$26 \\cdot 102 = 52 \\cdot 51$
단순
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 학교 밴드는 돈을 모으기 위해 차량 세차를 하고 있습니다. 그들의 목표는 $150을 모으는 것입니다. 지금까지 그들은 세 가족마다 $10씩과 x 가족마다 $5씩을 모았습니다. 그들은 목표에 도달하기 위해 더 $45를 모아야 합니다. 알 수 없는 변수 x의 값은 얼마입니까? 알 수 없는 변수 x의 값은 얼마입니까?
###Response: "이 문제를 해결하기 위해서는 x의 값, 즉 $5씩 기부한 가족의 수를 결정해야 합니다.
제공된 정보를 살펴보면:
세 가족에서 얻은 금액: $10씩 * 3 가족 = $30
x 가족에서 얻은 금액: $5씩 * x 가족 = $5x
총 수입 금액: $30 + $5x
목표 금액에 도달하기 위해 필요한 금액: $150 - ($30 + $5x) = $45
다음과 같은 방정식을 설정할 수 있습니다:
$150 - ($30 + $5x) = $45
간단하게 정리하고 x를 구해봅시다:
$150 - $30 - $5x = $45
$120 - $5x = $45
x를 분리하기 위해 양변에서 $120을 뺍니다:
$120 - $120 - $5x = $45 - $120
-$5x = -$75
마지막으로, 방정식 양변을 -5로 나누어 x를 구합니다:
x = -$75 / -$5
x = 15
따라서 x의 값은 15입니다.
#### 15
답은: 15"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 만약 Vanessa가 7개의 드레스와 4개의 셔츠를 판매하여 총 $69를 벌었고, 각 셔츠의 판매 가격이 $5이라면, 각 드레스의 판매 가격은 얼마인가요?
###Response: "만약 Vanessa가 7개의 드레스와 4개의 셔츠를 판매하여 총 $69를 벌었다면, 우리는 각 드레스의 판매 가격을 찾아야 합니다.
만약 각 셔츠가 $5에 판매되었다면, 셔츠 판매로부터 총 수익은 4 * $5 = $20입니다.
드레스 판매로부터 수익을 찾기 위해서는 셔츠 판매로부터 수익을 총 수익에서 빼야 합니다: $69 - $20 = $49
Vanessa가 7개의 드레스를 판매하였으므로, 드레스 판매로부터 수익을 드레스의 개수로 나누어야 합니다: $49 / 7 = $7
따라서, 각 드레스의 판매 가격은 $7입니다.
#### 7
답은: 7"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 마크는 치킨 너겟 100개를 주문했다. 치킨 너겟 20개 들어있는 상자는 4달러이다. 그는 치킨 너겟을 얼마나 지불했을까?
###Response: "마크는 100개의 치킨 너겟을 주문하고, 20개의 치킨 너겟이 $4이기 때문에 몇 개의 박스를 주문해야 하는지 계산하기 위해 전체 치킨 너겟 수를 각 박스의 치킨 너겟 수로 나눕니다: 100 / 20 = 5 박스.
마크가 치킨 너겟에 지불한 금액을 계산하기 위해, 박스 수에 박스 당 가격을 곱합니다: 5 박스 * $4 = $20.
그래서, 마크는 치킨 너겟에 $20을 지불했습니다.
#### 20
답은: 20"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 마시가 12분 동안 고양이를 쓰다듬고 그 중 1/3은 빗질하는 데 사용한다면, 그녀가 고양이와 함께하는 총 시간은 얼마인가요?
###Response: "만약 Marcy가 고양이를 쓰다듬는 데 12분을 쓰고 그 중 1/3을 빗질하는 데 쓴다면, 그녀는 고양이를 빗질하는 데 12/3 = 4분을 쓴다.
따라서, 그녀가 고양이와 함께 보내는 총 시간은 12 + 4 = 16분이다.
#### 16
답은: 16"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 24의 모든 인수의 합을 결정하라.
###Response: "24의 소인수분해는 $2^3 \\cdot 3$입니다.
24의 모든 약수의 합을 구하기 위해서는 약수의 합 공식을 사용할 수 있습니다.
소수인 $p$를 $a$번 곱한 경우, 그 약수의 합은 $\\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$로 주어집니다.
따라서, 24의 약수의 합은 $\\frac{2^4-1}{2-1} \\cdot \\frac{3^2-1}{3-1} = 15 \\cdot 4 = \\boxed{60}$입니다.
답은: 60"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 모비우스는 이탈리아에서 가장 빠른 노새입니다. 그녀는 어떠한 짐도 없을 때에는 시속 13마일로 달릴 수 있으며, 전형적인 짐을 싣고 있을 때에는 시속 11마일로 이동할 수 있습니다. 만약 그녀가 전형적인 짐을 싣고 이탈리아의 피렌체에서 로마까지 143마일을 최고 속력으로 이동한 다음, 짐을 싣지 않은 채로 평소 속력으로 피렌체로 돌아오며, 여행 중 각각의 절반에 30분의 휴식을 두면 여행은 총 몇 시간이 걸리겠습니까?
###Response: "피렌체에서 로마까지의 거리는 143 마일입니다.
모비우스는 11 마일 속도로 운반하면서 이동할 수 있으므로, 그녀가 피렌체에서 로마까지 이동하는 데에는 143/11 = 13 시간이 걸릴 것입니다.
이 여행 중에 그녀는 두 번의 30분 휴식을 취할 것이므로, 각 휴식은 총 30/60 = 0.5 시간이 걸립니다.
따라서, 여행 중 휴식을 위한 총 시간은 2 * 0.5 = 1 시간이 될 것입니다.
그러므로, 로마에서 피렌체로의 여행에는 휴식을 포함하여 총 13 + 1 = 14 시간이 걸릴 것입니다.
모비우스가 짐을 운반하지 않고 로마에서 피렌체로 돌아오면, 그녀는 최고 속도 13 마일로 이동할 수 있습니다.
로마에서 피렌체까지의 거리도 143 마일이므로, 그녀가 이 거리를 이동하는 데에는 143/13 = 11 시간이 걸릴 것입니다.
이 여행 중에도 다시 두 번의 30분 휴식을 취할 것이므로, 휴식을 위한 총 시간은 2 * 0.5 = 1 시간이 될 것입니다.
따라서, 휴식을 포함한 돌아오는 여행에는 총 11 + 1 = 12 시간이 걸릴 것입니다.
피렌체에서 로마까지의 여행과 돌아오는 여행을 모두 포함한 총 여행 시간은 14 + 12 = 26 시간이 될 것입니다.
전체 여행에 걸리는 총 시간은 26 시간입니다."
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 집에서 치과까지의 거리는 집에서 내과까지의 거리의 3.21배입니다. 학교에서 놀이터까지 60m라면, 학교에서 은행까지의 거리는 몇m 인가요?
###답변: 답은 192.60이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 켈리, 브리트니, 그리고 버피는 솔트 락 호수에서 수영을 하며 누가 가장 오래 물 속에서 숨을 참을 수 있는지 대회를 열었다. 켈리는 물 속에서 3분 동안 숨을 참았다. 브리트니는 켈리보다 20초 덜 숨을 참았고, 버피는 브리트니보다 40초 덜 숨을 참았다. 버피는 물 속에서 몇 초 동안 숨을 참았는가?
###Response: "Kelly는 3분 동안 숨을 참았으며, 이는 3 * 60 = 180초와 같습니다.
Brittany는 Kelly보다 20초 덜 숨을 참았으며, 따라서 Brittany는 180 - 20 = 160초 동안 숨을 참았습니다.
Buffy는 Brittany보다 40초 덜 숨을 참았으며, 따라서 Buffy는 160 - 40 = 120초 동안 숨을 참았습니다.
그러므로, Buffy는 120초 동안 숨을 참았습니다.
#### 120
답은: 120"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 효원이가 가진 구슬의 개수는 1A6개, 유정이가 가진 구슬은 B4C개 입니다. 효원이와 유정이가 가진 구슬의 개수가 총 498개일 때, A,B,C의 합은 무엇입니까?
###답변: 답은 10이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 마리나는 4.5 파운드의 초콜릿을 가지고 있었어. 라즐로는 4 파운드 미만의 초콜릿을 가지고 있었고, 파운드 단위의 양은 x만큼 적었어. 마리나는 라즐로보다 14 온스 더 많은 초콜릿을 가지고 있었어. 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇일까?
###Response: "이 문제를 풀기 위해서는, 우리는 라즐로의 퍼지와 4 파운드의 퍼지 사이의 차이를 나타내는 x의 값을 결정해야 합니다.
주어진 정보를 살펴보겠습니다:
마리나가 가진 퍼지의 양: 4.5 파운드
라즐로가 가진 퍼지의 양: 4 파운드 - x 온스
마리나는 라즐로보다 14 온스 더 많은 퍼지를 가졌습니다.
우리는 다음과 같이 방정식을 설정할 수 있습니다:
마리나가 가진 퍼지의 양 - 라즐로가 가진 퍼지의 양 = 14 온스
4.5 파운드 - (4 파운드 - x 온스) = 14 온스
파운드를 온스로 변환해봅시다:
4.5 파운드 = 4.5 * 16 온스 = 72 온스
4 파운드 = 4 * 16 온스 = 64 온스
간단하게 정리하고 x를 구해봅시다:
72 온스 - (64 온스 - x 온스) = 14 온스
72 온스 - 64 온스 + x 온스 = 14 온스
8 온스 + x 온스 = 14 온스
x를 고립하기 위해, 방정식 양쪽에서 8 온스를 빼줍니다:
8 온스 + x 온스 - 8 온스 = 14 온스 - 8 온스
x 온스 = 6 온스
x의 값은 6 온스입니다.
#### 6
답은: 6"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 한 남자가 매달 저축하는 돈의 양을 최대화하려고 노력하고 있습니다. 특히, 그는 두 가지 다른 아파트 중에서 선택하려고 합니다. 첫 번째 아파트는 월 렌트비로 x달러가 들며, 추가적으로 유틸리티 비용으로 매달 260달러가 듭니다. 두 번째 아파트는 매달 900달러가 들며, 추가적으로 유틸리티 비용으로 매달 200달러가 듭니다. 첫 번째 아파트는 남자의 직장으로부터 조금 멀리 떨어져 있으며, 남자는 매일 31마일을 운전해서 출근해야 합니다. 두 번째 아파트는 더 가까이 있으며, 남자는 출근하기 위해 매일 21마일을 운전해야 합니다. 세무청에 따르면, 사람이 운전하는 각 마일당 평균 비용은 58센트입니다. 만약 남자가 매달 20일씩 출근해야 한다면, 유틸리티 및 운전 관련 비용을 고려한 두 아파트의 총 월 비용 차이는 얼마인가요 (가장 가까운 정수로)?
만약 우리가 위의 질문에 대한 답이 76이라면, 미지수 x의 값은 얼마인가요?
###Response: "첫 번째 아파트의 총 월간 비용은 임대료, 유틸리티 및 운전 관련 비용의 합계입니다. 운전 관련 비용은 하루에 운전한 마일 수에 마일당 비용을 곱한 다음 월간 일수를 곱하여 계산됩니다. 따라서 첫 번째 아파트의 운전 관련 비용은 31 * 0.58 * 20 = $359.60입니다.
첫 번째 아파트의 총 월간 비용은 x + 260 + 359.60 = x + 619.60입니다.
두 번째 아파트의 총 월간 비용은 임대료, 유틸리티 및 운전 관련 비용의 합계입니다. 두 번째 아파트의 운전 관련 비용은 21 * 0.58 * 20 = $243.60입니다.
두 번째 아파트의 총 월간 비용은 900 + 200 + 243.60 = $1343.60입니다.
두 아파트의 총 월간 비용의 차이는 (x + 619.60) - 1343.60 = x - 724입니다.
우리는 총 월간 비용의 차이가 76이라는 것을 알고 있으므로, x - 724 = 76로 쓸 수 있습니다.
x를 구하기 위해, 우리는 x = 800으로 얻을 수 있습니다.
x의 값은 800입니다.
답은: 800"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 창섭이네 학교 3학년을 6개의 모둠으로 나누어야 할 것을 잘못하여 10개의 모둠으로 나누었더니 한 모둠당 5명씩 배정되고 4명이 남았습니다. 바르게 계산하면 한 모둠당 몇 명이 되겠습니까?
###답변: 답은 9이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $t(x) = \\sqrt{3x+1}$이고 $f(x)=5-t(x)$이다. $t(f(5))$의 값은 무엇인가?
###Response: "먼저, $f(5)$를 찾기 위해 $x=5$를 $f(x)$의 식에 대입합니다:
$f(5) = 5 - t(5) = 5 - \\sqrt{3(5)+1} = 5 - \\sqrt{16} = 5 - 4 = 1$.
다음으로, $t(f(5))$를 찾기 위해 $x=1$을 $t(x)$의 식에 대입합니다:
$t(f(5)) = t(1) = \\sqrt{3(1)+1} = \\sqrt{4} = \\boxed{2}$.
답은: 2"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 백 년에 한 번씩 바다 깊은 곳에서 나타나는 괴물이 배를 먹으며 배고픔을 채운다. 300년 동안, 이 괴물은 847명의 사람을 삼켰다. 배들은 시간이 지남에 따라 더 커졌기 때문에, 각 새로운 배는 이전 배의 두 배의 인원을 가지고 있다. 첫 100년 동안 괴물이 먹은 배에는 몇 명의 사람이 있었는가?
###Response: "300년이 넘게 지나도, 괴물은 847명의 사람들을 먹었습니다.
매 새로운 배는 이전 배의 두 배의 사람들을 가지고 있기 때문에, 우리는 각 배에 있는 사람들의 수가 2의 공비를 가지는 등비수열을 형성한다고 가정할 수 있습니다.
첫 번째 배에 있는 사람들의 수를 x로 나타내보겠습니다.
두 번째 배에 있는 사람들의 수는 2x, 세 번째 배에 있는 사람들의 수는 4x, 그리고 이어지는 배들에도 같은 식으로 계속됩니다.
그래서, 첫 100년 동안 괴물에 의해 먹힌 총 사람들의 수는 x + 2x + 4x = 7x가 됩니다.
우리는 총 300년 동안 괴물에 의해 먹힌 총 사람들의 수가 847명임을 알고 있습니다.
따라서, 7x = 847가 됩니다.
양쪽을 7로 나누면, x = 847/7 = 121이 됩니다.
따라서, 첫 100년 동안 괴물이 먹은 배에는 121명의 사람들이 있었습니다.
#### 121
답은: 121"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 수학 문제 풀이에 꼭 필요한 영어 단어, \, %, #, $ 같이 문제 풀이에 필요한 특수 기호들은 번역하지 말고 그대로 출력해.
다음을 번역하라 : Let
\\[f(x) = \\left\\{
\\begin{array}{cl}
x + 3 & \\text{if $x < 20$}, \\\\
2x - X & \\text{if $x \\ge 20$}.
\\end{array}
\\right.\\]Find $f^{-1}(7) + f^{-1}(46).$
주어진 문장의 번역 결과:
$f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x + 3 & \text{if $x < 20$}, \\
2x - X & \text{if $x \ge 20$}.
\end{array}
\right.$
$f^{-1}(7) + f^{-1}(46)$를 찾아라.
만약 위의 문제의 답이 28이라면, 미지수 X의 값은 얼마인가?
###Response: "우리는 주어진 상황에서 $X$의 값을 찾고 싶어합니다.
$f^{-1}(7) + f^{-1}(46)$를 찾기 위해서는 함수 $f(x)$의 역함수를 찾고 주어진 값을 대입해야 합니다.
함수 $f(x)$는 두 가지 경우가 있습니다: $x < 20$인 경우와 $x \\ge 20$인 경우입니다.
$x < 20$인 경우, $f(x) = x + 3$이 됩니다.
$f^{-1}(7)$을 찾기 위해서는 $f(x)$를 7로 놓고 $x$에 대해 풀면 됩니다:
$x + 3 = 7$
양변에서 3을 빼면,
$x = 4$
따라서, $f^{-1}(7) = 4$가 됩니다.
$x \\ge 20$인 경우, $f(x) = 2x - X$가 됩니다.
$f^{-1}(46)$을 찾기 위해서는 $f(x)$를 46으로 놓고 $x$에 대해 풀면 됩니다:
$2x - X = 46$
양변에 $X$를 더하면,
$2x = 46 + X$
양변을 2로 나누면,
$x = \\frac{46 + X}{2}$
따라서, $f^{-1}(46) = \\frac{46 + X}{2}$가 됩니다.
이제, 주어진 값들을 식 $f^{-1}(7) + f^{-1}(46)$에 대입하면:
$4 + \\frac{46 + X}{2} = 28$
분수를 없애기 위해 양변에 2를 곱하면,
$8 + 46 + X = 56$
같은 항들을 합치면,
$54 + X = 56$
양변에서 54를 빼면,
$X = 2$
따라서, X의 값은 2가 됩니다.
답은: 2"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 소은이네 과일 가게에서 사과는 한 개에 323원이고 배는 한 개에 2A6원 입니다. 사과보다 배가 6B원 저렴할 때, 알맞은 A, B의 곱은 무엇입니까?
###답변: 답은 35이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 만약 학교 버스가 X명의 학생을 태우고 학교를 떠난다면, 첫 세 정류장에서 학생들의 절반씩이 버스에서 내리게 된다. 세 번째 정류장 이후에 버스에 남은 학생 수는 6명이다. 이때 알 수 없는 변수 X의 값은 무엇인가?
###Response: "이 문제를 해결하기 위해서는 버스에 탑승한 학생의 초기 수를 나타내는 x의 값을 결정해야 합니다.
주어진 정보를 분석해 봅시다:
세 번째 정류장 이후 버스에 탑승한 학생 수: 6
두 번째 정류장 이후 버스에 탑승한 학생 수: 6 * 2 = 12
첫 번째 정류장 이후 버스에 탑승한 학생 수: 12 * 2 = 24
처음 버스에 탑승한 학생 수: x
우리는 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:
처음 버스에 탑승한 학생 수 * (1/2) * (1/2) * (1/2) = 6
(1/8) * x = 6
x를 분리하기 위해, 방정식 양 변을 8로 곱해줍니다:
(1/8) * x * 8 = 6 * 8
x = 48
x의 값은 48입니다.
정답은: 48"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 재용이가 가지고 있는 연필의 길이는 민우가 가지고 있는 연필의 길이의 3.7배이고, 재용이가 가지고 있는 연필의 길이가 22.51 센티미터라면, 민우가 가지고 있는 연필의 길이는 몇 센티미터인지 구해 보세요.
###답변: 답은 6.08이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 행렬이 항등 행렬이 되도록 하는 가장 작은 양의 정수 n은 무엇인가?
###Response: "주어진 행렬은 반시계 방향으로 $\\frac{\\pi}{3}$ 라디안 회전을 위한 회전 행렬이다.
전체 회전이 $2\\pi$ 라디안이므로, 행렬을 $6$ 제곱하면 $6 \\cdot \\frac{\\pi}{3} = 2\\pi$ 라디안 회전을 준다. 이는 항등 행렬과 동일하다.
따라서, 행렬을 $n$ 제곱했을 때 항등 행렬이 되는 가장 작은 양의 정수 $n$은 $n = \\boxed{6}$ 이다. 정답은: 6"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 애슐리와 그녀의 가족은 토요일에 영화를 보러 갔어. 어린이 티켓은 $4.25이고 성인 티켓은 $3.25 더 비쌌어. 그들은 3장 이상 구매하면 $2 할인을 받았어. 그들은 성인 티켓 2장과 x장의 어린이 티켓을 구매했을 때 30을 썼어. 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇일까? 알 수 없는 변수 x의 값은 무엇일까?
###Response: 이 문제를 해결하기 위해서는, 우리는 애쉬리와 그녀의 가족이 구매한 어린이 티켓의 수를 나타내는 x의 값을 결정해야 합니다.
주어진 정보를 살펴보면:
어린이 티켓의 가격: $4.25
성인 티켓의 가격: $4.25 + $3.25 = $7.50
3장 이상 구매 시 할인: $2
총 지출 비용: $30
우리는 다음과 같이 방정식을 설정할 수 있습니다:
어린이 티켓 수 * 어린이 티켓 가격 + 성인 티켓 수 * 성인 티켓 가격 - 할인 = 총 지출 비용
x * $4.25 + 2 * $7.50 - $2 = $30
간단하게 하고 x를 구하기 위해 해결해봅시다:
$4.25x + $15 - $2 = $30
$4.25x + $13 = $30
x를 분리하기 위해, 우리는 방정식 양쪽에서 $13을 빼줍니다:
$4.25x + $13 - $13 = $30 - $13
$4.25x = $17
x를 구하기 위해, 우리는 방정식 양쪽을 $4.25로 나눠줍니다:
x = $17 / $4.25
x = 4
x의 값은 4입니다.
#### 4
답은: 4
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 타이라가 12 자루의 연필을 가지고 있고, 그녀는 사라보다 6배 많은 연필을 가지고 있으며, 팀은 사라보다 8배 많은 연필을 가지고 있을 때, 팀은 몇 개의 연필을 가지고 있습니까?
###Response: "타이라가 12개의 연필을 가지고 있고, 그녀는 사라보다 6배 많은 연필을 가지고 있다면, 사라는 12/6 = 2개의 연필을 가지고 있다.
만약 팀이 사라보다 8배 많은 연필을 가지고 있다면, 팀은 2 x 8 = 16개의 연필을 가지고 있다.
따라서, 팀은 16개의 연필을 가지고 있다.
#### 16
답은: 16"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 이 문제는 반지름이 3 단위와 6 단위인 두 개의 동심 구가 있습니다. 더 큰 구 내부에 있고 더 작은 구 내부에 없는 영역의 부피는 얼마인가요? 답을 $\\pi$의 형태로 표현하세요.
###Response: "구의 부피는 공식 $V = \\frac{4}{3}\\pi r^3$에 의해 주어진다.
더 큰 구의 부피는 $\\frac{4}{3}\\pi (6^3)$이다.
더 작은 구의 부피는 $\\frac{4}{3}\\pi (3^3)$이다.
두 구 사이의 영역의 부피를 찾기 위해, 우리는 더 작은 구의 부피를 더 큰 구의 부피에서 빼준다.
따라서, 영역의 부피는 $\\frac{4}{3}\\pi (6^3) - \\frac{4}{3}\\pi (3^3) = \\frac{4}{3}\\pi (216-27) = \\frac{4}{3}\\pi (189) = \\boxed{252\\pi}$이다.
답은: 252\\pi"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 무게가 같은 참외 4통을 담은 상자의 무게는 16kg입니다. 빈 상자의 무게가 0.5kg일 때 멜론 한 통의 무게는 몇 kg일까요?
###답변: 답은 3.88이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 메리가 처음에 농장에서 양 400마리를 가지고 있었고, 그녀가 그 중 1/4을 자매에게 주고, 나머지 양의 절반을 형제에게 준 후에 메리에게 남은 양은 몇 마리입니까?
###Response: "메리는 처음에 양 400마리를 농장에 가지고 있었습니다.
그녀는 동생에게 그중 1/4인 400/4 = 100마리를 줬습니다.
동생에게 100마리를 준 후에, 메리는 400 - 100 = 300마리가 남았습니다.
그녀는 남은 양의 절반인 300/2 = 150마리를 그녀의 형에게 줍니다.
그래서, 메리는 300 - 150 = 150마리가 남게 됩니다.
#### 150
답은: 150"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 그랜트는 축구를 하기 시작했기 때문에 야구 장비를 판매하기로 결정했다. 그는 자신의 야구 카드를 x에 판매했다. 그는 야구 배트를 $10에 판매했고, $30인 야구 장갑을 20% 할인 가격으로 판매하기로 동의했다. 그는 또한 야구 클리트 한 켤레를 각각 $10에 판매했다. 그랜트가 얼마나 많은 돈을 벌었는가?
만약 우리가 위의 질문에 대한 답이 79라면, 알려지지 않은 변수 x의 값은 얼마인가?
###Response: "그랜트는 그의 야구 카드를 x 달러에 팔았다.
그는 그의 야구 배트를 $10에 팔았다.
그는 20% 할인된 $30의 야구 장갑을 팔았는데, 이는 그것을 0.8 * $30 = $24에 판매한 것을 의미한다.
그는 그의 야구 클리츠 두 켤레를 각각 $10에 팔았기 때문에, 그는 클리츠로부터 $10 * 2 = $20을 벌었다.
그랜트가 벌어들인 돈의 총액은 그의 야구 카드, 배트, 장갑, 그리고 클리츠를 판매한 금액의 합이다: x + $10 + $24 + $20 = x + $54.
우리는 그랜트가 벌어들인 총액이 $79라는 것을 알고 있으므로, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다: x + $54 = $79.
양변에서 $54를 빼면, 우리는 다음을 얻는다: x = $25.
x의 값은 $25이다.
#### 25
답은: 25"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하시오.
###문제: 홍도와 윤서, 진영이는 잡지를 읽었습니다. 홍도는 패션 부분 123장을 읽었고, 윤복이는 푸드 부분 97장을 읽었습니다. 진영이는 가구 부분 154장을 읽었을 때, 135장에 가장 가깝게 읽은 사람의 장수는 몇 장입니까?
###답변: 답은 123이다
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 만약 $x + y = 6$ 이고 $x^2 - y^2 = 12$ 일 때, $x - y$ 의 값은 얼마인가요?
###Response: "우리는 두 번째 방정식을 $(x+y)(x-y)=12$로 다시 쓰고, $x+y=6$을 대입하여 $6(x-y)=12$를 얻는다.
양변을 6으로 나누면, $x-y=\\boxed{2}$를 찾을 수 있다.
답은: 2"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 어떤 남자가 도구 상점에서 드릴 비트 5 세트를 구매하였는데, 각 세트는 $6이다. 그는 주문에 대해 10%의 세금을 지불하였다. 그가 지불한 총 금액은 무엇인가?
###Response: "한 세트의 드릴 비트 비용은 $6입니다.
그는 5 세트를 구매했으므로 드릴 비트의 총 비용은 5 * $6 = $30입니다.
그는 주문에 10%의 세금을 지불하며, 이는 10/100 * $30 = $3입니다.
그가 지불한 총 금액은 $30 + $3 = $33입니다.
#### 33
답은: 33"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 다항식 $p(x)$의 관대함을 $-1 \\le x \\le 1$ 구간에서 $|p(x)|$의 최대값으로 정의한다. 예를 들어, 다항식 $p(x) = -x^2 + 3x - 17$의 관대함은 21이다. 왜냐하면 $|-x^2 + 3x - 17|$의 최대값은 $-1 \\le x \\le 1$에서 $x = -1$일 때 21이기 때문이다.
모노틱 이차 다항식의 가장 작은 관대함을 찾아라.
만약 우리가 위 질문에 대한 답이 \\frac{1}{2}라고 알고 있다면, 알 수 없는 변수 X의 값은 얼마인가?
###Response: 우리는 주어진 상황에서 $X$의 값을 찾고 싶습니다.
단항 이차 다항식은 $p(x) = x^2 + bx + c$와 같은 형태로 표현할 수 있습니다. 여기서 $b$와 $c$는 상수입니다.
이 다항식의 관대함(munificence)을 찾기 위해서는 구간 $-1 \\le x \\le 1$에서 $|p(x)|$의 최대값을 결정해야 합니다.
다항식이 단항이므로 $x^2$의 계수는 1이며, 이는 그래프가 위로 열린다는 것을 의미합니다. $|p(x)|$의 최대값은 구간의 양 끝점 중 하나인 $x = -1$ 또는 $x = 1$에서 발생할 것입니다.
$x = -1$일 때를 고려해 봅시다:
$p(-1) = (-1)^2 + b(-1) + c = 1 - b + c$
$|p(x)|$의 최대값을 가능한 작게 만들기 위해서는 $|1 - b + c|$의 값을 최소화하고 싶습니다.
$b$와 $c$가 모두 실수 값을 가질 수 있기 때문에, $|1 - b + c|$의 최소값은 $b$와 $c$가 모두 0일 때 발생합니다. 이 경우, $|1 - b + c| = |1 - 0 + 0| = 1$입니다.
따라서, 단항 이차 다항식의 가장 작은 관대함은 $\\frac{1}{2}$입니다.
관대함의 값이 $\\frac{1}{2}$라는 것을 고려하면, 미지수 $X$의 값은 1이라고 결론할 수 있습니다.
답은: 1
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 주어진 문제에서 $(ax + b)(bx + a) = 26x^2 + \\Box x + 26$이고 $a$, $b$, 그리고 $\\Box$가 서로 다른 정수라면, $x$의 계수인 $\\Box$의 가장 작은 가능한 값은 무엇인가?
###Response: "주어진 식을 확장하면 $(ax + b)(bx + a) = abx^2 + (a^2 + b^2)x + ab$가 됩니다.
이 식은 $26x^2 + \\Box x + 26$와 같다는 것을 알고 있습니다.
계수를 비교하면 $ab = 26$, $a^2 + b^2 = \\Box$, 그리고 $ab = 26$이 됩니다.
우리는 $\\Box$의 가능한 최소값을 찾고 싶으므로 $a^2 + b^2$를 최소화하고 싶습니다.
$a$와 $b$가 다른 정수이므로, 곱이 $26$이고 제곱의 합이 최소인 두 정수 $a$와 $b$를 찾고 싶습니다.
$26$의 약수 쌍은 $(1, 26)$, $(2, 13)$, 그리고 $(-1, -26)$입니다.
각 쌍에 대해 제곱의 합을 계산하면 $1^2 + 26^2 = 677$, $2^2 + 13^2 = 173$, $(-1)^2 + (-26)^2 = 677$이 됩니다.
가장 작은 제곱의 합은 $173$이므로, $\\Box$의 가장 작은 가능한 값은 $\\boxed{173}$입니다.
답은: 173"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 마크는 이번 주에 학교에서 먹을 10개의 과일 조각을 가지고 있었다. 금요일에는 다음 주를 위해 2개의 과일 조각을 남겨두기로 결정했다. 그는 나머지 3개의 과일 조각을 학교에 가지고 갔다. 마크는 이번 주의 처음 네 일 동안 몇 개의 과일 조각을 먹었을까?
###Response: "마크는 이번 주에 학교에서 먹을 10개의 과일을 가지고 있었습니다.
금요일에는 다음 주를 위해 과일을 2개를 남겨두기로 결정했습니다.
그래서 그는 오늘을 위해 10 - 2 = 8개의 과일을 학교에 가져갑니다.
그는 나머지 3개의 과일을 오늘 학교에 가져갑니다.
따라서 이번 주 처음 네 일 동안 마크는 8 - 3 = 5개의 과일을 먹었습니다.
#### 5
답은: 5"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 제시는 원하는 것을 사기 위해 선물로 $50을 받았다. 그녀는 쇼핑몰에 가서 $7의 비용이 드는 소설에 반하고, 그 비용의 두 배를 쓴 후에 점심을 먹었다. 쇼핑몰에 간 후에 제시는 얼마의 돈이 남았을까?
###Response: "제시는 선물로 $50을 받았다.
그녀는 소설에 $7을 썼다.
그녀는 그 소설의 두 배를 점심에 썼으므로, 그녀는 2 * $7 = $14를 점심에 썼다.
총으로, 제시는 쇼핑몰에서 $7 + $14 = $21을 썼다.
남은 돈을 알아보기 위해, 그녀가 쓴 금액을 받은 금액에서 뺀다: $50 - $21 = $29.
제시는 쇼핑몰에 간 후 $29를 남겼다.
#### 29
답은: 29"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 톰 브레이디는 시즌 패싱 야드 기록에서 조금 부족하다. 현재 기록은 5999 야드이다. 그는 현재 시즌에 6경기가 남았는데 현재 4200 야드를 기록하고 있다. 그가 기록을 넘기기 위해 평균 몇 야드를 기록해야 할까?
###Response: "톰 브레이디는 기록을 깨기 위해 5999야드를 넘어야 합니다. 현재 그는 4200야드를 가지고 있으므로 추가로 5999 - 4200 = 1799야드를 획득해야 합니다.
시즌에서 남은 6경기를 가지고 있으므로, 그는 기록을 깨기 위해 1799 / 6 = 299.83야드를 평균적으로 달성해야 합니다.
야드의 분수는 존재할 수 없기 때문에, 톰 브레이디는 기록을 깨기 위해 평균적으로 300야드를 넘어야 합니다.
#### 300
답은: 300"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: "다음을 번역하라 : $p(x)$가 $X$를 반환하는 차수가 6인 단항식이며, $p(1) = X $p(2) = 2,$ $p(3) = 3,$ $p(4) = 4,$ $p(5) = 5,$ 그리고 $p(6) = 6$이다. $p(7)$을 찾아라."
"만약 위 질문의 답이 727이라면, 알 수 없는 변수 X의 값은 얼마인가?"
###Response: "우리는 $p(x)$가 6차식인 모닥불 다항식이라는 것을 알고 있습니다.
또한 $p(1) = X$, $p(2) = 2$, $p(3) = 3$, $p(4) = 4$, $p(5) = 5$, 그리고 $p(6) = 6$이라는 것을 알고 있습니다.
$p(7)$을 찾기 위해서는 보간법의 개념을 사용할 수 있습니다.
$p(x)$가 6차식인 모닥불 다항식이기 때문에, 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
$p(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) + x$
여기서 $a$는 상수입니다.
이 식에 주어진 값을 대입하여 $a$를 구할 수 있습니다:
$X = a(1-1)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6) + 1$
$2 = a(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6) + 2$
$3 = a(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)(3-5)(3-6) + 3$
$4 = a(4-1)(4-2)(4-3)(4-4)(4-5)(4-6) + 4$
$5 = a(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-5)(5-6) + 5$
$6 = a(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)(6-6) + 6$
이 식들을 간단하게 정리하면 다음과 같습니다:
$X = -120a + 1$
$2 = -80a + 2$
$3 = -60a + 3$
$4 = -40a + 4$
$5 = -20a + 5$
$6 = 0a + 6$
마지막 식에서 알 수 있듯이 $a = 0$입니다.
이 값을 첫 번째 식에 대입하면 다음과 같이 됩니다:
$X = -120(0) + 1$
$X = 1$
$p(7)$의 값이 727이라는 것을 알고 있으므로, 이 값을 식에 대입하면 다음과 같이 됩니다:
$727 = a(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6) + 7$
이 식을 정리하면 다음과 같이 됩니다:
$727 = 720a + 7$
양변에서 7을 빼면 다음과 같이 됩니다:
$720 = 720a$
양변을 720로 나누면 다음과 같이 됩니다:
$a = 1$
이제 $a$의 값을 찾았으므로, $p(x)$의 식에 대입하면 다음과 같이 됩니다:
$p(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) + x$
$p(7
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: $(5-4i)-2(3+6i)$의 복소수 형태는 무엇인가?
###Response: "복소수를 빼려면 실수 부분과 허수 부분을 따로 빼줍니다.
$(5-4i)-2(3+6i) = 5-4i-6-12i = \\boxed{-1-16i}$. 정답은: -1-16i"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 2007의 소인수분해는 $3^{2}\\times223$이다. 방정식 $xy=2007$을 만족하는 양의 정수 쌍 $(x,y)$는 몇 개인가?
###Response: "2007의 소인수분해가 $3^2 \\times 223$인 경우, $xy = 3^2 \\times 223$로 쓸 수 있다.
$xy$의 소인수분해는 2007의 모든 소인수를 포함해야 하므로, $x$와 $y$는 각각 3과 223의 인수를 가져야 한다.
$x$의 소인수분해에서 3의 지수는 0, 1 또는 2가 될 수 있으므로, 3의 지수에는 3가지 선택지가 있다.
마찬가지로, $x$의 소인수분해에서 223의 지수는 0 또는 1이 될 수 있으므로, 223의 지수에는 2가지 선택지가 있다.
따라서, $3 \\times 2 = \\boxed{6}$의 양의 정수 쌍 $(x,y)$가 방정식 $xy = 2007$을 만족한다.
답은: 6"
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 도시에는 아파트 블록이 있습니다. 이 블록에는 x층이 있습니다. 절반의 층은 6개의 아파트를 가지고 있고 나머지 절반은 5개의 아파트를 가지고 있습니다. 한 아파트에는 최대 4명의 거주자가 수용될 수 있습니다. 이 아파트 블록에서 최대 거주자 수는 264명입니다. 알 수 없는 변수 x의 값은 얼마입니까? 알 수 없는 변수 x의 값은 얼마입니까?
###Response: 이 문제를 해결하기 위해 우리는 아파트 블록의 층 수를 나타내는 x의 값을 결정해야합니다.
주어진 정보를 살펴보겠습니다:
6개의 아파트가 있는 층 수: x/2
5개의 아파트가 있는 층 수: x/2
층당 아파트 수: 6 또는 5
아파트당 최대 거주자 수: 4
총 거주자 수: 264
우리는 다음과 같은 방정식을 설정할 수 있습니다:
(6개의 아파트가 있는 층 수 * 층당 아파트 수 * 아파트당 최대 거주자 수) + (5개의 아파트가 있는 층 수 * 층당 아파트 수 * 아파트당 최대 거주자 수) = 총 거주자 수
(x/2 * 6 * 4) + (x/2 * 5 * 4) = 264
간단하게 하고 x를 구해보겠습니다:
24x/2 + 20x/2 = 264
12x + 10x = 264
22x = 264
x를 분리하기 위해 방정식 양변을 22로 나눕니다:
22x / 22 = 264 / 22
x = 12
x의 값은 12입니다.
#### 12
답은: 12
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###Instruction: 다음 문제를 읽고 답하세요.
###문제: 999의 가장 큰 소인수는 무엇인가?
###Response: 999의 소인수분해를 찾기 위해서는, 3으로 나누는 것으로 시작할 수 있습니다. 3으로 나누어 떨어지기 때문입니다.
3으로 나눈 999는 333이며, 여전히 3으로 나누어 떨어집니다.
333을 3으로 나눈 111도, 3으로 나누어 떨어집니다.
111을 3으로 나눈 37은 소수입니다.
따라서, 999의 가장 큰 소인수는 $\\boxed{37}$입니다.
답은: 37
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###문제: 애니가 슈퍼마켓에서 오렌지 2 kg에 $6를 지불했다면, 매입량에 비례하는 가격을 고려할 때, 오렌지 12 kg에 대해 얼마를 지불하게 될까?
###Response: "애니는 2 kg의 오렌지에 $6을 지불했으므로, 1 kg 당 가격은 $6/2 kg = $3/kg입니다.
12 kg의 오렌지를 구입하려면, 1 kg 당 가격에 kg 수를 곱해야 합니다.
따라서, 애니는 $3/kg x 12 kg = $36을 지불할 것입니다.
답은: 36입니다."
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###문제: 2007이 25로 나누어질 때 나머지는 무엇인가?
###Response: "2007를 25로 나누면 몫이 80이고 나머지가 $\\boxed{7}$인 것을 알 수 있습니다. 또는 2000은 25로 나누어지기 때문에 2007을 25로 나눌 때의 나머지는 7을 25로 나눌 때의 나머지와 같으며, 이는 $\\boxed{7}$입니다. 답은: 7"
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